Закон Ламберта стверджує, що спостережувана сила випромінювання або сила світла від ідеальної дифузно відбивної поверхні або ідеального дифузного випромінювача прямо пропорційна косинусу кута θ між лінією зору спостерігача та нормаллю до поверхні, RCA Electro-Optics Handbook, p.18 ffModern Optical Engineering, Warren J. Smith, McGraw-Hill, p. 228, 256. Названий на честь Йоганна Генріха Ламберта, який описав його у своїй праці , опублікованою в 1760 році.
Поверхню, яка підпорядковується закону Ламберта, називають «ламбертовою» й кажуть, що вона демонструю «ламбертове відбиття». Така поверхня має однакову енергетичну яскравість / яскравість незалежно від кута спостереження, а людське око сприймає таку поверхню як однаково яскраву з будь-якого ракурсу. Енергетична яскравість залишається незмінною тому, що хоча потужність випромінювання від заданого елемента площі зменшується на косинус кута випромінювання, тілесний кут, який займає видима спостерігачеві поверхня, зменшується на той самий множник. Оскільки відношення потужності до тілесного кута є сталим, енергетична яскравість (потужність на одиницю тілесного кута на одиницю проєкції площі джерела) залишається незмінною.
Ламбертові розсіювачі та випромінювачі
Коли елемент поверхні випромінює світло внаслідок освітлення зовнішнім джерелом, опроміненість (енергія або кількість фотонів за одиницю часу на одиницю площі), яка потрапляє на цей елемент, пропорційна косинусу кута між напрямком на джерело та нормаллю. У такому разі ламбертів розсіювач розсіює це світло за тим самим косинусоїдальним законом, що й ламбертів випромінювач. Це означає, що яскравість поверхні хоч і залежить від кута між нормаллю та напрямком на джерело освітлення, але не залежить від кута між нормаллю та напрямком на спостерігача. Наприклад, якби Місяць був ламбертовим розсіювачем, його спостережувана яскравість помітно зменшувалася б у напрямку до термінатора через збільшення кута падіння сонячних променів на поверхню. Той факт, що яскравість не спадає, свідчить про те, що Місяць не є ламбертовим розсіювачем, і насправді розсіює більше світла під косими кутами, ніж це властиво ламбертовій поверхні.
Випромінювання ламбертового джерела не залежить від падаючого випромінювання, а лише від випромінювальних властивостей самого тіла. Якби Сонце було ламбертовим випромінювачем, воно мало б однакову яскравість по всьому сонячному диску. Проте у видимому діапазоні для Сонця характерне потемніння до краю, що підтверджує, що воно не є ламбертовим джерелом. Теоретичним прикладом ламбертового випромінювача є абсолютно чорне тіло. Як практичний приклад приблизно ламбертівської поверхні іноді вказують промокальний папір.
Ефект однаковості яскравості
Фізичну картину для ламбертової поверхні (що випромінює або розсіює) проілюстровано на рис. 1 та 2. Для наочності розгляньмо випромінювання в термінах кількості фотонів, а не енергії чи світлової енергії. Кожен сектор на колі відповідає однаковому довільно обраному куту dΩ, і для ламбертової поверхні кількість випромінюваних за секунду в кожен сектор фотонів пропорційна площі цього сектора.
Довжина кожного сектора дорівнює добутку діаметра кола на cos(θ). Максимальна швидкість випромінювання фотонів на одиницю тілесного кута досягається вздовж нормалі та спадає до нуля при θ = 90°. Мовою математики, енергетична яскравість уздовж нормалі становить I фотонів/(с·м2·ср), а кількість фотонів за секунду, випромінюваних у вертикальний сектор, дорівнює . Водночас кількість фотонів за секунду, випромінюваних у сектор під кутом θ, становить .
Рис. 2 ілюструє те, що бачить спостерігач. Спостерігач безпосередньо над елементом площі бачить сцену через апертуру площею dA0, а елемент площі dA стягує (тілесний) кут dΩ0, який є частиною повного кутового поля зору спостерігача. Оскільки кутовий розмір сектора dΩ обрано довільно, для зручності можна без втрати загальності припустити, що він збігається з тілесним кутом, який стягує апертура, якщо «дивитися» на неї з точки розташування випромінювального елемента площі dA. Таким чином, розташований уздовж нормалі спостерігач фіксуватиме ті самі отримані вище фотонів за секунду і вимірюватиме енергетичну яскравість:
фотонів/(с·м2·ср).
Спостерігач під кутом θ до нормалі бачитиме сцену через ту саму апертуру площею dA0 (що все одно відповідає сектору dΩ), і з цього похилого ракурсу елемент площі dA зазнає перспективного скорочення та стягуватиме тілесний кут dΩ0 cos(θ). Цей спостерігач фіксуватиме фотонів за секунду, отже виміряє енергетичну яскравість:
фотонів/(с·м2·ср),
яка є такою самою, як і для спостерігача на нормалі. Отже, енергетична яскравість ламбертової випромінювальної поверхні не залежить від кута, під яким її спостерігають: ламбертові поверхні випромінюють ізотропно. Це пояснюється тим, що косинусоїдальна залежність інтенсивності від кута компенсується обернено пропорційною їй зміною видимої проєкції площі поверхні.
Зв'язок між піковою силою світла та світловим потоком
Загалом сила світла точки на поверхні змінюється залежно від напрямку; для ламбертової поверхні цей розподіл визначає закон косинуса з піком сили світла у напрямку нормалі. За умови виконання моделі Ламберта, повний світловий потік можна обчислити через максимальну силу світла інтегруванням закону косинуса:і таким чином
де — детермінант матриці Якобі для одиничної сфери, з урахуванням того, що є світловим потоком на один стерадіанIncropera and DeWitt, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 5th ed., p.710.. Ці співвідношення однаковою мірою застосовні як до потоку та сили випромінювання, так і до сили світла та світлового потоку.
Примітки