У математиці пра́вильний 4-політо́п або пра́вильний поліхоро́н — правильний політоп у чотиривимірному просторі. Чотиривимірний відповідник правильного многогранника у трьох вимірах та правильного многокутника у двох вимірах.

Існує шість опуклих та десять зірчастих правильних 4-політопів, тобто загалом їх — шістнадцять.

Історія Опуклі правильні 4-політопи вперше описав у середині XIX століття швейцарський математик Людвіг Шлефлі. Він виявив, що існує рівно шість таких фігур.

Він також знайшов чотири правильні зірчасті 4-політопи: , , та . Він пропустив решту шість, оскільки не дозволяв форм, які не відповідають характеристиці Ейлера на комірках або вершинних фігурах (для торів з нульовим отвором: F − E + V = 2). Це виключає комірки та вершинні фігури, такі як великий додекаедр {5,} та малий зірчастий додекаедр {,5}.

Повний список опублікував 1883 року (1843—1903) у своїй книзі Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder.

Побудова Існування правильного 4-політопа обмежене існуванням правильних многогранників , які утворюють його комірки та обмеження двогранного кута

,

що забезпечує «зустріч» клітин з утворенням замкненої 3-поверхні.

Розв'язками цих обмежень є тільки описані шість опуклих та десять зірчастих політопів.

Існує чотири неопуклі символи Шлефлі {p,q,r}, які мають допустимі комірки {p,q} та вершинні фігури {q,r}, проходять тест на діедральність, але не утворюють скінченних фігур:{3,,3}, {4,3,}, {,3,4}, {,3,}.

Правильні опуклі 4-політопи Правильні опуклі 4-політопи є чотиривимірними відповідниками платонових тіл у трьох вимірах та опуклих правильних многокутників у двох вимірах.

Кожен опуклий правильний 4-політоп обмежений набором 3-вимірних комірок, які є платоновими тілами одного типу та розміру. Вони припасовані одна до одної відповідними гранями (грань до грані), утворюючи поверхню 4-політопа, яка є замкнутим, вигнутим 3-вимірним простором (аналогічно тому, як поверхня Землі є замкнутим, вигнутим 2-вимірним простором).

Властивості Як і їхні 3-вимірні відповідники, опуклі правильні 4-політопи можна природно впорядкувати за розміром як мірою 4-вимірного об'єму (гіпероб'єму) для одного радіуса. Кожен більший політоп у послідовності кругліший від попередника, охоплює більший вміст у межах того самого радіуса. 4-симплекс (5-комірник) має найменший гіпероб'єм, а 120-комірник — найбільший. У таблиці нижче наведено деякі властивості шести опуклих правильних 4-політопів. Їхні групи симетрії є групами Коксетера та наведені в позначеннях, описаних у цій статті. Число після назви групи означає порядок групи. НазвиЗображенняТипШлефліКоксетерVEFCВерш.фіг.ДвоїстийГрупа симетрії5-комірникпентахорпентатоп4-симплексn-симплекс(сімейство An){3,3,3}51010{3}5{3,3{3,3}самодвоїстийA4[3,3,3]12016-комірникгексадекахор4-ортоплексn-ортоплекс(сімейство Bn){3,3,4}82432{3}16{3,3}{3,4}8-комірникB4[4,3,3]3848-комірникоктахортесеракт4-кубгіперкубn-куб(сімейство Bn){4,3,3}163224{4}8{4,3}{3,3}16-комірник24-комірникікосітетрахороктаплексполіоктаедр (pO)сімейство Fn{3,4,3}249696{3}24{3,4}{4,3}самодвоїстийF4[3,4,3]1152600-комірникгекзакосіхортетраплексполітетраедр (pT)(сімейство Hn){3,3,5}1207201200{3}600{3,3}{3,5}120-комірникH4[5,3,3]14400120-комірникгекатонікосахордодекаконтахордодекаплексполідодекаедр (pD)(сімейство Hn){5,3,3}6001200720{5}120{5,3}{3,3}600-комірник Джон Конвей пропонував назви симплекс, ортоплекс, тесеракт, октаплекс або поліоктаедр (pO), тетраплекс або політетраедр (pT) та додекаплекс або полідодекаедр (pD).

просував назви n-комірник (), або пентахор, гексадекахор, тесеракт або октахор, ікосітетрахор, гексакосіхор та гекатонікосахор (або додекаконтахор), та ввів термін поліхор, що є чотривимірним відповідником тривимірного многогранника та двовимірного многокутника, який походить від грецьких коренів poly («багато») та choros («кімната» або «простір»).«Convex and abstract polytopes», Programme and abstracts, MIT, 2005

Характеристика Ейлера для всіх 4-політопів дорівнює нулю, маємо 4-вимірний аналог формули Ейлера для многогранника:

де -кількість -граней у політопі (вершина — це 0-грань, ребро — 1-грань тощо).

Топологія будь-якого 4-політопа визначається його числами Бетті та коефіцієнтами кручення.

Як конфігурації Правильний 4-політоп можна повністю описати , що містить кількості його складників. Рядки та стовпці відповідають вершинам, ребрам, граням та коміркам. Діагональні числа (від верхнього лівого до нижнього правого) показують, скільки елементів кожного типу є в усьому 4-політопі. Недіагональні числа показують, скільки елементів стовпця зустрічаються в елементі рядка або на ньому. Наприклад, у будь-якому правильному 4-політопі у кожному ребрі є 2 вершини (кожне ребро має 2 вершини), і на кожній грані сходяться 2 комірки (кожна грань належить 2 коміркам). Конфігурацію для двоїстого політопа можна отримати, повернувши матрицю на 180 градусів.Coxeter, Complex Regular Polytopes, p. 117 5-комірник {3,3,3} 16-комірник {3,3,4} 8-комірник {4,3,3} 24-комірник {3,4,3} 600-комірник {3,3,5} 120-комірник {5,3,3}

Візуалізація У таблиці нижче показано деякі двовимірні проєкції правильних 4-політопів. Інші візуалізації можна знайти за наведеними нижче зовнішніми посиланнями. Під символами Шлефлі також наведено діаграми Коксетера — Динкіна. A4 = [3,3,3]B4 = [4,3,3]F4 = [3,4,3]H4 = [5,3,3]5-комірник16-комірник8-комірник24-комірник600-комірник120-комірник{3,3,3}{3,3,4}{4,3,3}{3,4,3}{3,3,5}{5,3,3}Суцільні ортографічні тривимірні проєкціїТетраедрична оболонка(комірко / вершиноцентрована)Кубічна оболонка(коміркоцентрована)Кубічна оболонка(коміркоцентрована)Кубооктаедричнаоболонка(коміркоцентрована)(вершинноцентрована)(коміркоцентрована)Wireframe Schlegel diagrams (Perspective projection)КоміркоцентрованаКоміркоцентрованаКоміркоцентрованаКоміркоцентрованаВершинноцентрованаКоміркоцентрованаWireframe stereographic projections (3-sphere)

Правильні зірчасті (Шлефлі — Гесса) 4-політопи

4-політопи Шлефлі — Гесса — це повний набір із 10 правильних самоперетинних зірчастих поліхорів (чотиривимірних політопів).Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f{α,β,γ) p. 122 2. The Schläfli-Hess polytopes Їх названо на честь першовідкривачів: Людвіга Шлефлі та . Кожен із них представлено символом Шлефлі {p,q,r}, у якому одне з чисел дорівнює . Отже, вони аналогічні правильним неопуклим многогранникам Кеплера — Пуансо, які своєю чергою аналогічні пентаграмі.

Назви Тут наведено назви, які надав Джон Конвей, розширивши назви Кейлі для многогранників Кеплера — Пуансо: поряд зі ззірчений () та великий () він додає модифікатор величний (). Конвей запропонував такі визначення операцій:

ззірчення — заміна ребер довшими ребрами за тими самими прямими. (Приклад: п'ятикутник перетворюється на пентаграму) збільшення () — заміна граней більшими в тих самих площинах. (Приклад: ікосаедр збільшується до великого ікосаедра) звеличення () — замінює комірки більшими в тих самих 3-просторах. (Приклад: 600-комірник перетворюється на )

Джон Конвей називає 10 форм 3 4-політопів із правильними комірками: pT = політетраедр {3,3,5} (тетраедр із 600 комірками), pI = поліікосаедр {3,5,} () та pD=полідодекаедр {5,3,3} (додекаедричний 120-комірник), з префіксами-модифікаторами: g, a та s для великого, величного та зірчастого відповідно. Останнє ззірчення, великий величний зірчастий полідодекаедр, включає їх усі — gaspD.

Симетрія Усі десять поліхорів мають [3,3,5] (H4). Вони генеруються з 6 пов'язаних груп симетрії раціонального порядку тетраедрів Ґурси: [3,5,], [5,,5], [5,3,], [,5,], [5,,3] та [3,3,].

Кожна група має 2 правильні зірчасті поліхори, за винятком двох груп, які є самодвоїстими, тобто мають лише один. Отже, серед десяти правильних зірчастих поліхорів є 4 двоїсті пари та 2 самодвоїсті форми.

Властивості Примітка:

Існує 2 унікальних , що відповідають розташуванням вершин 120-комірника та 600-комірника. Існує 4 унікальних , показані у вигляді ортографічних проєкцій каркасів. Існує 7 унікальних , показаних у вигляді суцільних ортографічних проекцій (із зафарбованими гранями). (Однак, ікосаедричний 120-комірник має таке ж розташування граней, як і опуклий 600-комірник.)

Комірки (многогранники), їхні грані (многокутники), многокутникові реберні фігури і многогранникові вершинні фігури позначають їхніми символами Шлефлі. Назва за Конвеєм (скор.)Ортогональна проєкціяШлефліКоксетерК{p, q}Г{p}Р{r}В{q, r}χПоліікосаедр (pI){3,5,5/2}120{3,5}1200{3}720{5/2}120{5,5/2}4480Зірчастий полідодекаедр (spD){5/2,5,3}120{5/2,5}720{5/2}1200{3}120{5,3}4−480Великий полідодекаедр (gpD){5,5/2,5}120{5,5/2}720{5}720{5}120{5/2,5}60Величний полідодекаедр (apD){5,3,5/2}120{5,3}720{5}720{5/2}120{3,5/2}200Великий зірчастий полідодекаедр (gspD){5/2,3,5}120{5/2,3}720{5/2}720{5}120{3,5}200Величний зірчастий полідодекаедр (aspD){5/2,5,5/2}120{5/2,5}720{5/2}720{5/2}120{5,5/2}660Великий величний полідодекаедр (gapD){5,5/2,3}120{5,5/2}720{5}1200{3}120{5/2,3}76−480Великий поліікосаедр (gpI){3,5/2,5}120{3,5/2}1200{3}720{5}120{5/2,5}76480Величний політетраедр (apT){3,3,5/2}600{3,3}1200{3}720{5/2}120{3,5/2}1910Великий величний зірчастий полідодекаедр (gaspD){5/2,3,3}120{5/2,3}720{5/2}1200{3}600{3,3}1910

Див. також

Правильні багатовимірні многогранники Абстрактні правильні 4-політопи: 11-комірник {3,5,3} 57-комірник {5,3,5} Правильний многогранник Тіло Кеплера — Пуансо — правильний зірчастий многогранник Зірка (геометрія) — правильні зірчасті многокутники 4-політоп

Примітки

Література

(Paper 10)

Chapter I Classical Regular Polytopes (Sample text)

Посилання

Jonathan Bowers, 16 regular 4-polytopes Regular 4D Polytope Foldouts Catalog of Polytope Images A collection of stereographic projections of 4-polytopes. A Catalog of Uniform Polytopes Dimensions 2 hour film about the fourth dimension (contains stereographic projections of all regular 4-polytopes) Reguläre Polytope The Regular Star Polychora Hypersolids