У геометрії п'ятикутна піраміда — це піраміда з основою у вигляді п'ятикутника та п'ятьма трикутними гранями, що має загалом шість граней. Якщо всі ребра мають однакову довжину, утворюючи рівносторонні трикутні грані та правильну п'ятикутну основу, то належить до тіл Джонсона.
П'ятикутні піраміди зустрічаються як частини та засоби для побудови багатьох многогранників. Вони також з'являються в галузі природничих наук, як-от у стереохімії, де йдеться про , а також у дослідженнях складання оболонок на відповідних поверхнях потенціальної енергії та дисклінацій у і споріднених структурах, таких як пірамідальні нанодротини з міді та інших металів.
Часткові випадки
Правильна піраміда П'ятикутна піраміда має шість вершин, десять ребер і шість граней. Одна з її граней — п'ятикутник, основа піраміди; п'ять інших — трикутники. П'ять ребер утворюють п'ятикутник, з'єднуючи його п'ять вершин, а інші п'ять ребер, відомі як бічні ребра піраміди, сходяться в шостій вершині, яку називають вершиною. П'ятикутну піраміду називають правильною, якщо її основа — правильний п'ятикутник, а прямою, якщо її висота проходить через центр основи.
Як і інші правильні піраміди з основою у вигляді правильного многокутника, ця піраміда має пірамідальну симетрію циклічної групи : піраміда залишається інваріантною під час поворотів на одну, дві, три, чотири п'ятих навколо своєї осі симетрії, лінії, що з'єднує вершину з центром основи. Вона також дзеркально симетрична відносно будь-якої площини, що проходить перпендикулярно до площини основи через її бісектрису. Її можна подати як граф-колесо , що означає, що її кістяк можна інтерпретувати як п'ятикутник, п'ять вершин якого з'єднуються з вершиною в центрі, яку називають універсальною вершиною. Самодвоїста, тобто її двоїстий многогранник також п'ятикутна піраміда.
Тіло Джонсона
Якщо всі ребра мають однакову довжину, п'ять трикутних граней є рівносторонніми, а основа — правильним п'ятикутником. Оскільки ця піраміда залишається опуклою, а всі її грані є правильними многокутниками, її класифікуютья як друге тіло Джонсона . Двогранний кут між двома сусідніми трикутними гранями становить приблизно 138,19°, а між трикутною гранню та основою — 37,37°. Це , тобто його неможливо розділити площиною так, щоб утворилося два менших опуклих многогранники з правильними гранями.
Площа поверхні многогранника дорівнює сумі площ його граней. Отже, площа поверхні п'ятикутної піраміди дорівнює сумі площ п'яти трикутників та одного п'ятикутника. Об'єм кожної піраміди дорівнює одній третині добутку площі її основи та її висоти. Отже, об'єм п'ятикутної піраміди дорівнює третині добутку висоти та площі основи п'ятикутника. У випадку тіла Джонсона з довжиною ребра , площа поверхні та об'єм дорівнюють:
В декартовій системі координат координати вершин п'ятикутної піраміди, як тіла Джонсона, де — золотий переріз.
Застосування
П'ятикутні піраміди можна знайти в складі багатьох многогранників. Приєднання її основи до п'ятикутної грані іншого багатогранника є прикладом операції доповнення (), а приєднання його до призм або антипризм відоме як подовження () та гіроподовження () відповідно. Прикладами таких многогранників є пентакісдодекаедр, побудований з додекаедра приєднанням п'ятикутних пірамід основами до кожної п'ятикутної грані (нагадує малий зірчастий додекаедр) та правильний ікосаедр, побудований з п'ятикутної антипризми приєднанням до її п'ятикутних основ двох п'ятикутних пірамід. Деякі тіла Джонсона побудовано або доповненням п'ятикутних пірамід, або доповненням інших тіл п'ятикутними пірамідами: , , п'ятикутна біпіраміда , , , , і ., pp. 84–88. Подібно до цього, видалення п'ятикутної піраміди з многогранників є прикладом операції зменшення (); і тричі відсічений ікосаедр — приклади многогранників, побудова яких починається з видалення п'ятикутних пірамід із правильного ікосаедра.
У стереохімії атомний кластер може мати . Ця молекула має елемент головної групи з однією активною вільною парою електронів, що можна описати моделлю, яка передбачає геометрію молекул, відомою як теорія відштовхування електронних пар валентних оболонок (ВЕПВО). Прикладом молекули з такою структурою є карбонатна сполука з -кліткою CB₁H₂.
З частин, що мають форму п'ятикутних та шестикутних пірамід, можна змоделювати формування вірусних оболонок, відомих як капсиди. Вибрано саме ці форми, оскільки вони нагадують форми білкових субодиниць природних вірусів. Відповідно вибравши сили притягання та відштовхування між пірамідами, виявлено, що піраміди можуть самоорганізуватися в ікосаедричні оболонки, подібні до тих, що зустрічаються в природі.
У кристалографії п'ятикутні піраміди спостерігаються серед кристалів міді, отриманих методом електроосадження. Зокрема, механічна активація катода під час початкового етапу електрокристалізації дає змогу отримувати мідні п'ятикутні піраміди з високими сходинками росту.
Примітки
Джерела
Посилання
Virtual Reality Polyhedra www.georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra (VRML model )