Тео́рія фу́нкцій перекона́нь (), відома також як тео́рія сві́дчень () та теорія Демпстера — Шейфера (ТДШ, ), — це загальна система міркувань в умовах невизначеності, що має встановлені зв'язки з іншими системами, як-от із теоріями ймовірностей, можливостей і . Запропонована у контексті статистичного висновування, ця теорія згодом була розвинена у загальну систему моделювання  — математичну теорію . Вона дає змогу об'єднувати свідчення з різних джерел і отримувати ступінь переконання (поданий математичним об'єктом під назвою функція переконання, ), який враховує всі наявні свідчення.

У вузькому розумінні термін «теорія Демпстера — Шейфера» стосується первісної концепції теорії, запропонованої Демпстером і Шейфером. Проте частіше цей термін уживають у ширшому розумінні для позначення того самого загального підходу, пристосованого до конкретних типів ситуацій. Зокрема, багато авторів запропонували інші правила об'єднання свідчень, часто з метою кращого опрацювання конфліктів між свідченнями. Перші праці в цій галузі також стали відправними точками для багатьох важливих подальших розробок, зокрема моделі передаванних переконань і теорії підказок.

Огляд Теорія Демпстера — Шейфера є узагальненням баєсової теорії суб'єктивної ймовірності. Функції переконань визначають ступені переконання (або впевненості, або довіри) щодо одного питання на основі суб'єктивних імовірностей щодо пов'язаного з ним питання. Самі ступені переконання можуть мати або не мати математичних властивостей імовірностей; те, наскільки вони відрізняються від імовірностей, залежить від того, наскільки тісно пов'язані ці два питання. Інакше кажучи, це спосіб подання епістемічних вірогідностей (), але він може давати відповіді, що суперечать отриманим із застосуванням теорії ймовірностей.

Теорія Демпстера — Шейфера, яку часто застосовують як метод злиття даних давачів, ґрунтується на двох ідеях: отриманні ступенів переконання щодо одного питання із суб'єктивних імовірностей щодо пов'язаного з ним питання та правилі Демпстера для об'єднання таких ступенів переконання, коли вони ґрунтуються на незалежних елементах свідчень. По суті, ступінь переконання в твердженні залежить передусім від кількості відповідей (на пов'язані питання), що містять це твердження, та суб'єктивної ймовірності кожної з них. Також свій внесок роблять правила об'єднання, які відображають загальні припущення щодо даних.

У цій формалізації сту́пінь перекона́ння (, званий також ма́сою, ) подають як фу́нкцію перекона́ння (), а не як баєсів розподіл імовірності. Значення ймовірності призначають множинам можливостей, а не окремим подіям: їхня привабливість полягає в тому, що вони природним чином кодують свідчення на користь тверджень.

Теорія Демпстера — Шейфера призначає свої маси всім підмножинам множини станів системи — у теоретико-множинних термінах, булеану множини станів. Наприклад, розгляньмо ситуацію, в якій система має два можливі стани. Для такої системи будь-яка функція переконання призначає масу першому стану, другому стану, обом, і жодному.

Переконання та вірогідність Формалізація Шейфера виходить із множини можливостей (), які розглядають, наприклад числових значень змінної або пар мовних змінних, як-от «дата й місце походження реліквії» (коли з'ясовують, чи є вона старовинною, чи нещодавньою підробкою). Гіпотезу подають підмножиною цієї системи розрізнення (), як-от «(династія Мін, Китай)» або «(XIX століття, Німеччина)».

Підхід Шейфера дає змогу подавати переконання щодо таких тверджень у вигляді інтервалів, обмежених двома значеннями: переконанням (, або підтримкою, ) та вірогідністю ():

переконання ≤ вірогідність.

На першому кроці всім підмножинам системи розрізнення призначають суб'єктивні ймовірності (маси); зазвичай ненульову масу має лише обмежена кількість множин (фокальні елементи, ). Переконання в гіпотезі становить суму мас усіх підмножин множини, що подає цю гіпотезу. Це величина переконання, яка безпосередньо підтримує або задану гіпотезу, або конкретнішу за неї, утворюючи таким чином нижню межу її ймовірності. Переконання (зазвичай позначуване Bel) вимірює силу свідчень на користь твердження p. Воно набуває значень від 0 (що означає відсутність свідчень) до 1 (що означає певність). Вірогідність дорівнює 1 мінус сума мас усіх множин, перетин яких із гіпотезою порожній. Або ж її можливо отримати як суму мас усіх множин, перетин яких із гіпотезою непорожній. Вона є верхньою межею можливості істинності гіпотези, оскільки кількість свідчень, що суперечать цій гіпотезі, обмежена. Вірогідність (позначувана Pl) таким чином пов'язана з Bel співвідношенням Pl(p) = 1 − Bel(~p). Вона також набуває значень від 0 до 1 і вимірює, якою мірою свідчення на користь ~p залишають місце для переконання в p.

Наприклад, припустімо, що для певного твердження, скажімо, «кіт у коробці мертвий», ми маємо переконання 0,5. Це означає, що ми маємо свідчення, які дають змогу впевнено стверджувати істинність цього твердження зі ступенем упевненості 0,5. Однак свідчення, що суперечать цій гіпотезі (тобто «кіт живий»), мають ступінь упевненості лише 0,2. Решта маси, 0,3 (проміжок між свідченнями на підтримку зі значенням 0,5, з одного боку, та протилежними свідченнями зі значенням 0,2, з іншого), є «невизначеною», тобто кіт може бути як мертвим, так і живим. Цей інтервал подає рівень невизначеності на основі свідчень у системі.

Гіпотеза Маса Переконання Вірогідність Жодний (ані живий, ані мертвий) 0 0 0 Живий 0,2 0,2 0,5 Мертвий 0,5 0,5 0,8 Будь-який (живий або мертвий) 0,3 1,0 1,0

Гіпотезі «жодний» за визначенням призначають нуль (вона відповідає випадку «розв'язку немає»). Ортогональні гіпотези «живий» і «мертвий» мають імовірності 0,2 та 0,5 відповідно. Це могло би відповідати сигналам «давача живого/мертвого кота», що мають відповідні надійності 0,2 та 0,5. Нарешті, всеохопна гіпотеза «будь-який» (яка лише визнає, що в коробці є кіт) отримує решту маси, щоби сума мас дорівнювала 1. Переконання для гіпотез «живий» і «мертвий» збігаються з відповідними їм масами, оскільки єдиною власною підмножиною кожної з них є порожня множина з нульовою масою; переконання для «будь-який» складається із суми всіх трьох мас («будь-який», «живий» і «мертвий»), оскільки «живий» і «мертвий» є підмножинами «будь-який». Вірогідність «живий» дорівнює 1 − m(мертвий): 0,5, а вірогідність «мертвий» — 1 − m(живий): 0,8. Інакше, вірогідність «живий» дорівнює m(живий) + m(будь-який), а вірогідність «мертвий» — m(мертвий) + m(будь-який). Нарешті, вірогідність «будь-який» дорівнює сумі m(живий) + m(мертвий) + m(будь-який). Універсальна гіпотеза («будь-який») завжди матиме 100 % переконання та вірогідності — вона слугує своєрідною контрольною сумою.

Ось дещо складніший приклад, у якому починає проявлятися поведінка переконання та вірогідності. Ми спостерігаємо за одним віддаленим сигнальним вогнем за допомогою різних систем давачів; він може мати лише один із трьох кольорів (червоний, жовтий або зелений):

Гіпотеза Маса Переконання Вірогідність Жодний 0 0 0 Червоний 0,35 0,35 0,56 Жовтий 0,25 0,25 0,45 Зелений 0,15 0,15 0,34 Червоний або жовтий 0,06 0,66 0,85 Червоний або зелений 0,05 0,55 0,75 Жовтий або зелений 0,04 0,44 0,65 Будь-який 0,1 1,0 1,0

Події такого типу в імовірнісному просторі не моделювали би як окремі сутності, як це роблять тут у просторі призначення мас. Натомість подію «червоний або жовтий» розглядали би як об'єднання подій «червоний» та «жовтий», і (див. аксіоми теорії ймовірностей) P(червоний або жовтий) ≥ P(жовтий), а P(будь-який) = 1, де будь-який означає червоний, жовтий або зелений. У ТДШ маса, призначена будь-якому, відповідає частці свідчень, яку неможливо призначити жодному з інших станів; тут це означає свідчення про те, що вогонь є, але без будь-якої інформації про його колір. У цьому прикладі частці свідчень, які вказують, що вогонь є або червоним, або зеленим, призначено масу 0,05. Такі свідчення можливо, наприклад, отримати від людини з порушенням розрізнення червоного та зеленого кольорів. ТДШ дає змогу виокремити цінність свідчень цього давача. Крім того, у ТДШ вважають, що порожня множина має нульову масу, що тут означає: система сигнального вогню існує, і ми розглядаємо її можливі стани, а не припускаємо, чи існує вона взагалі.

Об'єднання переконань Переконання з різних джерел можливо об'єднувати за допомогою різних операторів злиття для моделювання конкретних ситуацій злиття переконань, наприклад за допомогою правила об'єднання Демпстера, яке об'єднує обмеження переконань, задані незалежними джерелами переконань, як у випадку об'єднання підказок або об'єднання уподобань. Зауважте, що маси ймовірностей тверджень, які суперечать одне одному, можливо використовувати для отримання міри конфлікту між незалежними джерелами переконань. Інші ситуації можливо моделювати за допомогою інших операторів злиття, як-от накопичувальне злиття переконань із незалежних джерел, яке можливо моделювати оператором накопичувального злиття ().

Правило об'єднання Демпстера іноді тлумачать як наближене узагальнення правила Баєса. За такого тлумачення апріорні та умовні ймовірності задавати не обов'язково, на відміну від традиційних баєсових методів, у яких для призначення апріорних імовірностей випадковим змінним часто застосовують міркування симетрії (мінімаксної похибки, наприклад, призначаючи значення 0,5 бінарним величинам, коли немає інформації про те, яке з двох значень імовірніше). Проте у правилі об'єднання Демпстера жодну інформацію, що міститься у відсутніх апріорних та умовних імовірностях, не використовують, якщо її неможливо отримати опосередковано, — а тоді, як можна стверджувати, вона вже доступна для обчислення за допомогою рівнянь Баєса.

Теорія Демпстера — Шейфера дає змогу в цій ситуації задавати ступінь незнання, замість того щоби бути змушеним задавати апріорні ймовірності, сума яких дорівнює одиниці. Такі ситуації, а також питання про те, чи існує справжня відмінність між ризиком та незнанням, широко обговорювали статистики й економісти. Див., наприклад, протилежні погляди Деніела Еллсберга, , та .

Формальне визначення Нехай X — універсум: множина, що подає всі можливі стани розглядуваної системи. Булеан

є множиною всіх підмножин X, включно з порожньою множиною . Наприклад, якщо

то

Елементи булеана можливо вважати такими, що подають твердження щодо фактичного стану системи, оскільки кожен із них містить усі й лише ті стани, в яких відповідне твердження істинне.

Теорія свідчень призначає кожному елементові булеана масу переконання. Формально функцію

називають базовим призначенням переконань (БПП, ), якщо вона має дві властивості. По-перше, маса порожньої множини дорівнює нулю:

По-друге, сума мас усіх елементів булеана дорівнює 1:

Маса m(A) заданого елемента A булеана виражає частку всіх доречних і доступних свідчень, які підтримують твердження, що фактичний стан належить A, але не якійсь конкретній підмножині A. Значення m(A) стосується лише множини A і не містить жодних додаткових тверджень щодо будь-яких підмножин A, кожна з яких за визначенням має власну масу.

Із призначень мас можливо визначити верхню та нижню межі інтервалу ймовірності. Цей інтервал містить точну ймовірність множини, що становить інтерес (у класичному розумінні), й обмежений двома неадитивними неперервними мірами, званими переконанням (, або підтримкою, ) та вірогідністю ():

Переконання bel(A) для множини A визначають як суму мас всіх підмножин множини, що становить інтерес:

Вірогідність pl(A) є сумою мас всіх множин B, що перетинаються з множиною A, яка становить інтерес:

Ці дві міри пов'язані між собою таким чином:

І навпаки, для скінченної A, якщо задано міру переконання bel(B) для всіх підмножин B множини A, маси m(A) можливо знаходити за допомогою такої оберненої функції:

де |A − B| — різниця потужностей двох множин.