Існува́ння і гла́дкість ро́зв'язків рівня́нь Нав'є́ — Сто́кса — одна зі семи математичних задач тисячоліття, які 2000 року сформульовано в Математичному інституті Клея.
Рівняння Нав'є — Стокса описують рух в'язкої ньютонівської рідини і є основою гідродинаміки. Чисельні розв'язки рівнянь використовують у багатьох практичних застосуваннях та наукових працях. Однак в аналітичному вигляді розв'язки цих рівнянь знайдено лише для окремих випадків, тому немає повного розуміння властивостей рівнянь Нав'є — Стокса. Зокрема, розв'язки рівнянь Нав'є — Стокса часто включають турбулентність, яка залишається однією з найважливіших нерозв'язаних задач у фізиці, попри її величезну важливість для науки та техніки.
Рівняння Нав'є — Стокса Для тривимірного вектора швидкості рідини та тиску рівняння Нав'є — Стокса мають такий вигляд:
,
де — кінематична в'язкість, — густина, — зовнішня сила, — оператор набла і — оператор Лапласа (лапласіан), який також позначають як або . Це векторне рівняння, яке у тривимірному випадку можна подати трьома скалярними рівняннями. Якщо позначити компоненти векторів швидкості та зовнішньої сили як:
то для кожного значення виходить відповідне скалярне рівняння:
Невідомими величинами є швидкість та тиск . Оскільки у тривимірному випадку виходить три рівняння та чотири невідомі (три компоненти швидкості та тиск), то необхідне ще одне рівняння. Додатковим рівнянням є закон збереження маси — рівняння нерозривності, яке в разі нестисливого середовища перетворюється на умову нестисливості рідини:
Початкові умови до рівнянь Нав'є — Стокса задають як:
,
де — задана гладка вектор-функція, що задовольняє рівняння нерозривності .
Варіанти постановки задачі Інститут Клея сформулював два основні варіанти постановки задачі про існування та гладкість розв'язків рівнянь Нав'є — Стокса. У першому варіанті рівняння розглядають у всьому тривимірному просторі з деякими обмеженнями на швидкість зростання розв'язку на нескінченності. У другому варіанті рівняння розглядають на тривимірному торі з періодичними граничними умовами. Для отримання премії достатньо довести або спростувати існування та гладкість розв'язку в будь-якому з двох варіантів.
У тривимірному просторі Нехай початкова швидкість — довільна гладка функція, що задовольняє рівняння нерозривності і така, що для будь-якого мультиіндекса та будь-якого існує постійна (залежна тільки від і ) така, що
для всіх
Нехай зовнішня сила — також гладка функція, що задовольняє аналогічну нерівність (тут мультиіндекс включає також похідні за часом):
для всіх
Розв'язки повинні бути гладкими функціями, які не зростають необмежено при . Мають виконуватися такі умови:
Існує постійна така, що для всіх .
Перша умова означає, що функції глобально визначені і гладкі; друга — що кінетична енергія глобально обмежена.
Потрібно довести одне з двох:
існування та гладкість розв'язків рівнянь Нав'є — Стокса в : для та будь-якої початкової умови , що задовольняє описані вище умови, існує глобальний гладкий розв'язок рівнянь Нав'є — Стокса, тобто вектор швидкості та поле тиску , що задовольняє умови 1 та 2; неіснування чи негладкість розв'язків рівнянь Нав'є — Стокса : існують початкова умова та зовнішня сила такі, що не існує розв'язків і , що задовольняють умови 1 та 2.
Розв'язок 2026 року 8 вересня 2026 року професор Нью-Йоркського університету заявив, що він, спільно зі співробітником Anthropic , скориставшись великими мовними моделями, знайшли контрприклад до існування та гладкості розв'язків інших рівнянь у часткових похідних, споріднених із рівняннями Нав'є — Стокса. Наступного дня корпорація OpenAI оголосила про знаходження контрприкладу до гіпотези про існування та гладкість розв'язків власне рівнянь Нав'є — Стокса за допомогою, як стверджувалося, власної внутрішньої моделі, і опублікувала розв'язок та його формалізацію мовою Lean. Після цього Бакмастер повідомив, що підозрює OpenAI у використанні їхньої спільної з Алпеге роботи — контексту, напрацьованого в системі , і що раніше представники OpenAI наполегливо пропонували йому опублікувати результат із посиланням на використання систем OpenAI, виключивши Алпеге — співробітника компанії-конкурента — з числа співавторів. Станом на вересень 2026 року, Математичний інститут Клея позначив статус питання про те, чи розв'язано задачу, як «активний».
Примітки
Література
Посилання Офіційний опис задачі від Чарльза Феффермана Проблеми 2000 року: рівняння Нав'є —Стокса // Компьютерра, 5 жовтня 2005 року Стан проблеми в особистому блозі Теренса Тао (2022)