Поліфо́рма — плоска або просторова геометрична фігура, утворена шляхом об'єднання однакових комірок — многокутників або багатогранників. Зазвичай комірка являє собою опуклий многокутник, здатний замостити площину — наприклад, квадрат або правильний трикутник. Деякі види поліформ мають свої назви; наприклад, поліамант — поліформа, яка складається з рівносторонніх трикутників.
Першими поліформами, використаними в цікавій математиці, стали поліміно — зв'язні фігури, складені з клітин нескінченної шахової дошки. Назва «поліміно» була вигадана Соломоном Голомбом в 1953 році і популяризована Мартіном Гарднером.
Поліформа, що складається з n комірок, може позначатися як n-форма. Для вказаного числа комірок в фігурі використовуються стандартні грецькі і латинські префікси моно-, до-, три-, тетра-, пента-, гекса- и т. д.
Правила з'єднання Правила з'єднання комірок можуть бути різними и повинні бути вказаними в конкретному випадку. Зазвичай розуміються наступні правила: комірки поліформи не повинні перекриватися. Дві сусідні многокутні комірки повинні мати спільне ребро або спільну площину (у просторі). Якщо допустити, що сусідні комірки можуть мати лише спільний кут (на площині) або спільне ребро або вершину (у просторі), то поліформа називається псевдополіформою (). Поліформа, що складається з довільних не зв'язаних між собою комірок на площині або в просторі, називається квазіполіформою ().
Симетрії
В залежності від того, чи дозволені обертання і дзеркальні відображення, розрізняються наступні типи поліформ: вільна () або двостороння () поліформа — фігура, яку дозволено обертати і дзеркально відображати; одностороння () поліформа — плоска фігура, яку дозволено лише обертати в площині, але не можна перевертати; фіксована () поліформа — фігура, яку не дозволено ні дзеркально відображати, ні обертати.
Види та застосування поліформ Поліформи можуть використовуватися в іграх, головоломках, моделях. Однією з основних комбінаторних проблем, пов'язаною з поліформами, є перелік поліформ заданого виду. Іншою задачею є вкладання фігур із заданого набору (часто це всілякі поліформи певного виду, наприклад, 12 пентаміно) в задану область (у випадку пентаміно це можебути прямокутник 6×10).
Серед популярних головоломок і ігор, заснованих на поліформах — пентаміно, кубики сома, тетріс, деякі варіанти судоку.
{|class="wikitable" style="text-align: center" |- !colspan="2"|Форма комірки (моноформа) !Зв'язність фігури !Поліформа |- |rowspan="2"| |rowspan="2"|квадрат |сторона |поліміно () |- |сторона, кут |псевдополімінополіплет ()
|правильний трикутник |сторона |поліамант ()
|правильний шестикутник |сторона |полігекс ()
|куб |грань |полікуб ()
|трикутник 45-45-90 |сторона | ()
|трикутник 30-60-90 |сторона | ()
|квадрат(в тривімірному просторі) |ребро (90°, 180°) |поліміноїд ()
|ромбододекаедр |грань |полірон ()
|відрізок |кінец (90°, 180°) | ()
Поліформи на гіперболічних паркетах На евклідовій площині існує лише три правильні паркети — квадратний паркет, трикутний паркет і шестикутний паркет. На цих трьох паркетах розміщуються три найбільш «популярні» типа поліформ — поліміно, поліаманти і полігекси відповідно.
На гіперболічній площині існує нескінченна множина правильних паркетів, кожному з котрих відповідає щонайменше один тип поліформ. На паркетах, в кожній вершині котрих сходяться три многокутники, існує один тип поліформ — об'єднання многокутників, з'єднаних сторонами. На паркетах з чотирма та більше многокутниками, що сходяться у вершині, можна розглянути також аналоги псевдополіміно — фігури, що утворюються при з'єднанні вершин многокутників.
Відомості про кількість «гіперболічних» поліформ і складання з них фігур невеликі. Так, на квадратному паркеті порядку 5 існує 1 мономіно, 1 доміно, 2 триміно (вони збігаються з «евклідовими» мономіно, доміно і триміно), 5 тетраміно. На правильному семикутному паркеті порядку 3 існує 10 тетрагептів — фігур, що складаються з чотирьох зв'язаних семикутників, причому 7 з цих 10 тетрагептів можна вкласти на евклідовій площині без перекриття семикутників.
Примітки
Література
Посилання
Andrew Clarke The Poly Pages David Eppstein The Geometry Junkyard Peter F. Esser Peter's Puzzle and Polyform Pages Jaap Scherphuis PolyForm Puzzle Solver George Sicherman Polyform Curiosities Miroslav Vicher Miroslav Vicher's Puzzles Pages Aad van de Wetering Letters en cijfers Livio Zucca PolyMultiForms Kadon Enterprises, Inc. Polyform Puzzles