У диференціальній геометрії, скрут кривої () — це кількісна міра відхилення кривої від стичної площини. Таким чином, скрут вказує наскільки крива відрізняється від форми плоскої кривої.
Для плоскої кривої скрут дорівнює нулю. Коли скрут кривої є мірою відхилення від площини, то кривина кривої є мірою відхилення від прямої.
Визначення
Нехай — довільна точка регулярної кривої , — точка кривої, що близька до . Позначимо через кут між стичними площинами кривої в точках та , а через — довжину дуги кривої. Тоді , якщо він існує, називається абсолютним скрутом кривої в точці і позначається через .
Геометричний зміст абсолютного скруту й знака скруту
Абсолютний скрут кривої в точці дорівнює кутовій швидкості обертання бінормалі кривої навколо точки , тобто де — кут повороту бінормалі, що відповідає приросту довжини дуги . Скрут буде додатнім (від'ємним), якщо при спостереженні з кінця вектора швидкості вектор бінормалі при русі точки по кривій обертається проти (по) годинникової стрілки.
Доведення. Розглянемо властивості вектора : , бо — одиничний вектор, отже , ; (оскільки , з першої формули Френе: і ); Тут познадають відповідно одиничні дотичний і нормальний вектори, — кривину кривої у відповідній точці. (третя формула Френе). Таким чином, . Знайдемо тепер , , або . Враховуючи властивість 2 та першу формулу Френе і розглядаючи кривину як функцію , маємо: . Отже,
Скрут кривої в довільній параметризації
Нехай — регулярна параметризація кривої , . Тоді, — абсолютний скрут в довільній параметризації. Для скрут кривої обчислюється за формулою: .
Зауваження
Якщо скрут кривої дорівнює нулю , то крива плоска.
Приклад
Обчислимо скрут гвинтової лінії: . Оскільки
то
Тоді
Примітки
Література