В математиці, зокрема теорії алгебр Лі, підалгебрами Картана називаються певні нільпотентні підалгебри, які зокрема мають велике значення для класифікації напівпростих алгебр Лі і в теорії симетричних просторів. Названі на честь французького математика Елі Картана.
Означення Нехай — алгебра Лі. Підалгебра називається підалгеброю Картана, якщо вона є нільпотентною і рівна своєму нормалізатору. Формально ці умови можна записати як: для деякого (нільпотентність) (самонормалізованість).
Еквівалентним є таке означення: нільпотентна підалгебра називається підалгеброю Картана, якщо вона є рівна своїй нуль-компоненті Фіттінга, тобто множині:
де — приєднане представлення групи Лі.
Властивості Підалгебри Картана є максимальними нільпотентними підалгебрами, тобто не містяться у строго більших нільпотентних підалгебрах. Довільна скінченновимірна алгебра Лі над нескінченним полем має підалгебру Картана. Для скінченновимірної алгебри Лі над алгебраїчно замкнутим полем характеристики 0 усі підалгебри Картана є спряженими щодо автоморфізмів алгебри Лі і зокрема є ізоморфними. Розмірність алгебр Картана називається рангом алгебри Лі. У випадку, якщо алгебра Лі є розв'язною, то ці властивості є справедливі і для полів, що не є алгебраїчно замкнутими. В тих же припущеннях, що і вище, довільна максимальна нільпотентна підгрупа, розмірність якої рівна рангу алгебри Лі, є підгрупою Картана. Образ підалгебри Картана при сюр'єктивному гомоморфізмі алгебр Лі є підалгеброю Картана. Нехай для скінченновимірної алгебри Лі над нескінченним полем є регулярним елементом, тобто елементом, для якого нульова компонента Фіттінга ендоморфізму має мінімальну розмірність. Тоді підалгебра , елементами якої є , такі, що для деякого , є підалгеброю Картана. Для полів характеристики 0 всі підалгебри Картана мають вид як для відповідного регулярного елемента Кожен регулярний елемент належить одній і тільки одній підгрупі Картана. Якщо є деяким розширенням поля, то підалгебра є підалгеброю Картана тоді і тільки тоді, коли є підалгеброю Картана алгебри
Приклади Будь-яка нільпотентна алгебра Лі рівна своїй підалгебрі Картана. Підалгеброю Картана загальної лінійної групи над деяким полем є алгебра діагональних матриць. Підалгеброю Картана алгебри Лі
є підалгебра діагональних матриць . Будь-яка інша підалгебра Картана є спряженою до . Натомість, наприклад, у алгебрі є неспряжені підалгебри Картана, зокрема
і . Розмірність алгебри Картана загалом не є максимальною розмірністю абелевої підалгебри, навіть для простих алгебр над полем комплексних чисел. Наприклад, алгебра Лі має підалгебру Картана розмірності 2n−1, але розмірність її абелевої підалгебри, що складається з усіх матриць виду , де A — довільна матриця розмірності n×n, є рівною n2. Ця підалгебра не є підалгеброю Картана, оскільки строго міститься у нільпотентній підалгебрі верхніх трикутних матриць з нульовими діагональними елементами. Прикладом максимальної нільпотентної підалгебри, що не є підалгеброю Картана, може бути алгебра матриць виду де — одинична матриця порядку n, а матриці є верхніми трикутними з нульовими діагональними елементами. Дані матриці утворюють абелеву підалгебру загальної лінійної групи і можна довести, що ця алгебра є максимальною нільпотентною підалгеброю. Проте, якщо Y є діагональною матрицею, не всі елементи якої є рівними, то хоча , і друга вимога в означенні підалгебри Картана не виконується.
Напівпрості алгебри Лі Якщо є напівпростою алгеброю Лі над алгебраїчно замкнутим полем характеристики 0, тоді підалгебра Картана є абелевою і образи приєднаного представлення , обмеженого на , є одночасно діагоналізовними у множині вагових векторів, до того ж є власним простором, що відповідає вазі . Також справедливим є розклад в пряму суму
де
і . Зокрема у випадку
якщо позначити матрицю з елементом в позиції і іншими елементами, рівними , тоді розклад має вид
де для ваги .
Література Élie Cartan: Sur la structure des groupes de transformations finis et continus. Thèse, Paris 1894. Anthony W. Knapp: Lie groups beyond an introduction. (Progress in Mathematics, 140). Second edition. Birkhäuser, Boston, MA 2002, ISBN 0-8176-4259-5.