Гіперколо, гіперцикл або еквідистантаУ книзі Смогоржевського використовується термін еквідистанта, хоча, загалом, еквідистанта — це ширше поняття. Тут слід говорити про еквідістанту прямої на гіперболічній площині. — це крива, точки якої мають сталу ортогональну відстань до прямої (яка називається віссю гіперкола).

Якщо дано пряму L і точку P, яка не лежить на L, можна побудувати гіперцикл, узявши всі точки Q, що лежать з того ж боку від L, що й P, і на такій самій відстані від L, що й P.

Пряма L називається віссю, центром або базовою прямою гіперциклу.

Прямі, перпендикулярні до осі, які перпендикулярні і до гіперциклу, називаються нормалями гіперциклу.

Відрізки нормалі між віссю і гіперциклом називаються радіусами.

Загальна довжина цих відрізків називається відстанню або радіусом гіперциклу.

Гіперцикли через задану точку, що мають одну і ту ж дотичну в цій точці, сходяться до орициклу в міру прямування відстані до нескінченності.

Властивості, подібні до властивостей евклідових прямих Гіперцикли у гіперболічній геометрії мають деякі властивості, схожі на властивості прямих в евклідовій геометрії:

На площині, якщо задано пряму і точку поза нею, існує тільки один гіперцикл для даної прямої, що містить цю точку (порівняйте з аксіомою Плейфера для евклідової геометрії). Ніякі три точки гіперциклу не лежать на одній прямій. Гіперцикл симетричний відносно будь-якої прямої, перпендикулярної до нього (відбиття гіперциклу відносно прямої, перпендикулярної до гіперциклу, дає той же самий гіперцикл).

Властивості, подібні до властивостей евклідових кіл Гіперцикли у гіперболічній геометрії мають деякі властивості, подібні до властивостей кола в евклідовій геометрії:

Пряма, перпендикулярна до хорди гіперциклу в її середині, є радіусом і ділить стягувану дугу навпіл. Нехай AB — хорда і M — її середина. З огляду на симетрію, пряма R через M, перпендикулярна до хорди AB, має бути ортогональною до осі L. Таким чином, R є радіусом. Також з міркувань симетрії, R ділить дугу AB навпіл. Вісь і відстань гіперциклу визначені однозначно. Припустимо, що гіперцикл C має дві різні осі і . Скориставшись попередньою властивістю двічі з різними хордами, можна визначити два різних радіуси і . і будуть тоді перпендикулярні як до , так і до , що дає прямокутник. Отримали суперечність, оскільки у гіперболічній геометрії прямокутник неможливий. Гіперцикли мають однакові відстані тоді й лише тоді, коли вони конгруентні. Якщо вони мають однакові відстані, потрібно звести осі до збігу Тобто переміщенням фігури як твердого тіла., а тоді всі радіуси збіжаться. Оскільки радіус той самий, точки двох гіперциклів сумістяться. Навпаки, якщо вони конгруентні, відстань має бути тако ж, згідно з попередньою властивістю. Прямі перетинають гіперцикл не більше ніж у двох точках. Нехай пряма K перетинає гіперцикл C у двох точках A і B. Як і раніше, ми можемо побудувати радіус R гіперциклу C через середню точку M хорди AB. Зауважимо, що пряма K ультрапаралельна до осі L, оскільки вони мають спільний перпендикуляр R. Також, дві ультрапаралельні прямі мають найменшу відстань на загальному перпендикулярі і відстань монотонно зростає в міру відхиляння від перпендикуляра. Це означає, що точки K всередині AB міститимуться на відстані від L меншій, ніж відстань від A і B до L, тоді як точки K поза відрізком AB будуть мати більшу відстань. У підсумку, жодних інших точок K немає на C. Два гіперцикли перетинаються максимум у двох точках. Нехай і  — гіперцикли, що перетинаються в точках A, B і C. Якщо  — пряма, ортогональна AB і проходить через середню точку, ми знаємо, що це радіус як для , так і для . Аналогічно будуємо радіус через середню точку відрізка BC. і одночасно ортогональні до осей і гіперциклів і відповідно. Ми вже довели, що в цьому випадку і мають збігатися (інакше отримаємо прямокутник). Тоді і мають ті самі осі і принаймні одну спільну точку, а тому вони мають ту саму відстань і теж збігаються. Ніякі три точки гіперциклу не лежать на одній прямій. Якщо точки A, B і C гіперциклу лежать на одній прямій, то хорди AB і BC належать одній і тій самій прямій K. Нехай і є радіусами, що проходять через середні точки хорд AB і BC. Ми знаємо, що вісь L гіперциклу перпендикулярна як до , так і до . Але K також перпендикулярна до них. Тоді відстань має дорівнювати 0, і гіперцикл вироджується в пряму.

Інші властивості

Довжина дуги гіперциклу між двома точками більша від довжини відрізка між цими двома точками, менша від довжини дуги одного з двох орициклів між цими двома точками менша від довжини будь-якої дуги кола між цими двома точками. Гіперцикл і орицикл перетинаються максимум у двох точках.

Довжина дуги На гіперболічній площині з постійною кривиною довжину дуги гіперциклу можна обчислити за радіусом і відстанню між точками, в яких нормалі перетинають вісь, за допомогою формули:

Побудова Для гіперболічної площини в моделі Пуанкаре у диску гіперцикли відповідають прямим і дугами кола, які перетинають граничне коло під будь-яким кутом відмінним від прямого. Відповідно, вісь гіперциклу, оскільки — це геодезичні, які в моделі представлені відрізками та дугами перпендикулярними граничному колу, буде перетинати граничне коло в тих самих точках, що і гіперцикл, але під прямим кутом.

Відповідно в іншій конформній моделі — моделі Пуанкаре у верхній півплощині гіперцикли представляються прямими та дугами кола, що перетинають граничну пряму під будь-яким кутом відмінним від прямого. Вісь гіперциклу — це геодезична, що перетинає граничну пряму в тих самих точках, але під прямим кутом.

Примітки

Література