Теорема двоїстості Фенхеля — це результат теорії опуклих функцій, що носить ім'я німецького математика .
Нехай ƒ — на , а g — власна увігнута функція на . Тоді, якщо задоволені умови регулярності,
де є опуклим спряженням функції ƒ (яке називають перетворенням Фенхеля — Лежандра), а — увігнутим спряженням функції g. Тобто,
Математична теорема Нехай X і Y — банахові простори, і — опуклі функції, а — обмежене лінійне відображення. Тоді задачі Фенхеля
задовольняють слабкій двоїстості, тобто . Зауважимо, що є опуклими спряженнями функцій f і g відповідно, а є спряженим оператором. для цієї двоїстої задачі задає формула .
Припустимо, що f, g і A задовольняє або
f і g напівнеперервні знизу і , де — , а де h — деяка функція, є множиною , або , де — це точки, де функція неперервна.
Тоді має місце сильна двоїстість, тобто . Якщо , то супремум досягається.
Одновимірна ілюстрація
На малюнку ілюструється задача мінімізації в лівій частині рівності. Шукається значення змінної x, такої, що вертикальна відстань між опуклою і увігнутою кривою в точці x настільки мала, наскільки можливо. Положення вертикальної прямої на малюнку (приблизно) оптимальне.
Наступний малюнок ілюструє задачу максимізації у правій частині рівності. Дотичні, проведені до кожної кривої, мають однаковий нахил p. Задача полягає в уточненні значення p так, щоб дві дотичні були якнайдалі одна від одної (точніше так, щоб точки перетину їх із віссю y були якнайдалі одна від одної). Механічно, можна уявити дотичні як металеві стрижні, з'єднані вертикальними пружинами, які їх розштовхують, а параболи обмежують положення стрижнів.
Теорема Фенхеля стверджує, що ці дві задачі мають один і той самий розв'язок. Точки, що мають мінімальне вертикальне розділення, також є точками дотику для максимально розсунутих паралельних дотичних.
Див. також
Перетворення Лежандра Опукле спряження Теорема Моро
Примітки
Література