Конфігура́ція Сильвестра — Галлаї складається зі скінченної підмножини точок проєктивного простору зі властивістю, що пряма, яка проходить через будь-які дві точки підмножини, проходить принаймні ще через одну точку підмножини.

Замість визначення конфігурації Сильвестра — Галлаї як підмножини точок проєктивного простору її можна визначити як абстрактну структуру інцидентності точок і прямих, яка задовольняє властивостям, що для будь-якої пари точок структура включає рівно одну пряму, яка містить цю пару, і що будь-яка пряма містить принаймні три точки. У цьому загальному вигляді конфігурації називають схемами Сильвестра — Галлаї. Близьке поняття — , з тією ж властивістю відсутності прямих з двома точками, що й у конфігурації Сильвестра — Галлаї.

Вкладність у дійсний та комплексний простори Теорема Сильвестра показує, що у двовимірному просторі, на дійсній проєктивній площині, в евклідових і проективних просторах вищих розмірностей, а також у просторах з координатами з упорядкованого поля можуть існувати лише одновимірні конфігурації Сильвестра — Галлаї — вони складаються з трьох або більше колінеарних точок. Жан-П'єр Серр надихнувся цим фактом і прикладом конфігурації Гессе і запитав, чи не будуть у просторах з комплексними координатами всі конфігурації Сильвестра — Галлаї максимум двовимірними. Ердеш повторив питання. Келлі відповів на запитання Серра ствердно. , Преторіус і Сванепоел спростили доведення Келлі і довели, що в просторах з координатами в кватерніонах усі конфігурації Сильвестра — Галлаї повинні лежати в тривимірному підпросторі.

Проєктивні конфігурації Моцкін вивчав проєктивні конфігурації, які є також конфігураціями Сильвестра — Галлаї. Проєктивна конфігурація має додаткові вимоги, що будь-які дві точки мають однакову кількість прямих, які проходять через них, і що будь-які дві прямі містять однакову кількість точок на них. Конфігурації Сильвестра — Галлаї включають, наприклад, афінні та проєктивні простори будь-якої розмірності, визначені над скінченними полями, і є також проєктивними конфігураціями.

Будь-якій проєктивній конфігурації можна дати позначення (pa ℓb), де p — число точок, ℓ — число прямих, a — число прямих, що проходять через точку, а b — число точок на прямій, для яких виконується рівність pa = ℓb. Моцкін зауважив, що для визначення схеми Сильвестра — Галлаї для цих параметрів необхідно, щоб b > 2, p < ℓ (будь-яка множина неколінеарних точок у проєктивному просторі визначає принаймні стільки прямих, скільки є точок) і щоб виконувалася така додаткова рівність

Ліва частина рівності відбиває число пар точок, а права — число пар, покритих прямими конфігурації.

Схеми Сильвестра — Галлаї, які є також проєктивними конфігураціями, є тими самими об'єктами, що й системи Штейнера з параметрами ST(2,b,p).

Моцкін перерахував деякі приклади малих конфігурацій цього типу:

7373, параметри площини Фано, проєктивної площини над полем із двох елементів. 94123, параметри конфігурації Гессе. Це афінна площина над триелементним полем. Конфігурацію можна реалізувати також у комплексних координатах як множину точок перегину еліптичної кривої. 134134, параметри проєктивної площини над триелементним полем. 136263, параметри двох 13-елементних систем Штейнера. 157353, параметри тривимірного проєктивного простору над двоелементним полем та 79 інших систем трійок Штейнера. 165204 параметри афінної площини над чотириелементним полем. 215215, параметри проєктивної площини над четирехелементним полем. 256305 параметри афінної площини над п'ятиелементним полем.

Борос, Фюреді і Келлі, а також Боковські і Ріхтер-Геберт вивчали альтернативні геометричні подання схем Сильвестра — Галлаї, в яких точки схеми подаються мимобіжними прямими в чотиривимірному просторі, а кожна пряма схеми подається гіперплощиною. Як семиточкова, так і 13-точкова проєктивні площини мають подання цього типу.

Інші приклади Келлі і Нванкпа класифікували загалом усі неколлінеарні конфігурації Сильвестра — Галлаї і схеми Сильвестра — Галлаї над максимум 14 точками. До цих схем належить унікальна схема із десятьма точками. У схемі деякі точки належать трьом чотириточковим прямим, інші належать трьом триточковим прямим та одній чотириточковій. Існує також єдина 11-точкова схема Сильвестра — Галлаї, дві різні 12-точкові схеми та чотири нерегулярні 13-точкові схеми. Для 14 точок вони виявили, що також існує лише одна схема Сильвестра — Галлаї.

Примітки

Література

.