Гіпотеза Ердеша про арифметичні прогресіїГіпотезу іноді плутають із — припущення в адитивній комбінаториці, сформульоване Палом Ердешем, згідно з яким у випадку, якщо сума обернених величин додатних натуральних чисел деякої множини розбіжна, то множина містить як завгодно довгі арифметичні прогресії.
Формально, якщо:
,
тобто — , то містить арифметичну прогресію будь-якої наперед заданої довжини.
За доведення гіпотези Ердеш обіцяв свого часу премію 3 тис. доларів США; станом на 2008 рік було встановлено премію 5 тис. доларів СШАSoifer, Alexander (2008); The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of its Creators; New York: Springer. p. 354. ISBN 978-0-387-74640-1.
Зв'язок з іншими твердженнями
Наслідки з гіпотези Гіпотеза Ердеша є узагальненням теореми Семереді (оскільки ряд розбіжний як гармонійний), а також теореми Ґріна — Тао (оскільки сума , де підсумовування ведеться за простими числами, також розбіжнаМ. Айгнер, Г. Циглер, «Доказательства из книги» — М. «Мир», 2006, стр. 13).
Твердження, з яких випливає гіпотеза Через еквівалентність розбіжності , гіпотезу Ердеша можна буде довести, якщо буде доведено, що .
Однак на даний момент доведено лише, що , де , а також, в окремому випадку , що .
Примітки
Посилання P. Erdős: Résultats et problèmes en théorie de nombres, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres, Fasc 2., Exp. No. 24, pp. 7. P. Erdős: Problems in number theory and combinatorics, Proc. Sixth Manitoba Conf. on Num. Math., Congress Numer. XVIII(1977), 35-58. P. Erdős: On the combinatorial problems which I would most like to see solved, Combinatorica, 1(1981), 28.