Дія Ейнштейна — Гільберта — дія, яка дозволяє виводити рівняння Ейнштейна у загальній теорії відносності через принцип найменшої дії. Гравітаційна частина дії дається формулою
де — визначник метричного тензора, — скаляр Річі, а — гравітаційна стала Ейнштейна ( — гравітаційна стала, — швидкість світла у вакуумі). Застосування рівняння Ейлера — Лагранжа до дії Ейнштейна — Гільберта дає рівняння Ейнштейна.
Вперше цю дію запропонував Давид Гільберт у 1915 році.
Виведення рівнянь поля Ейнштейна Виведення рівнянь руху з дії має кілька переваг. По-перше, це дозволяє легко поєднати загальну теорію відносності з іншими класичними теоріями поля (наприклад, теорією Максвелла), які також сформульовані в термінах дії. Крім того, симетрії дії дозволяють легко ідентифікувати збережувані величини за допомогою теореми Нетер.
Рівняння Ейнштейна в присутності матерії отримують додаванням дії матерії до дії Ейнштейна — Гільберта. Припустимо, що повна дія задана членом Ейнштейна — Гільберта плюс член , який описує будь-які поля матерії, наявні в теорії:Тоді принцип найменшої дії говорить, що для виведення фізичного закону ми повинні вимагати, щоб варіація цієї дії зі змінами оберненої метрики дорівнювала нулю, що дає
.
Оскільки це рівняння має виконуватися для будь-якої варіації , тоПрава частина цього рівняння руху (за визначенням) пропорційна тензору енергії-імпульсу,
.
Щоб обчислити ліву частину рівняння, нам потрібні варіації скаляра Річі і визначника метрики. Їх можна отримати за допомогою стандартних розрахунків, таких як наведені нижче розрахунки на основі підручника Керролла (2004).
Варіація скаляра Річі Варіація скаляра Річі випливає з варіації тензора кривини Рімана, а потім тензора кривини Річі.
Перший крок фіксується
.
Використовуючи правило добутку, варіація скаляра Річі перетворюються на
де ми також використали метричну зв'язність і перейменували індекси підсумовування в останньому члені.
При множенні на , член стає повною похідною, оскільки для будь-якого вектора і будь-якої тензорної густини , ми маємо
або .
За теоремою Стокса, така повна похідна при інтегруванні дає лише граничний член. Цей граничний член в загальному випадку не дорівнює нулю, оскільки підінтегральна функція залежить не тільки від а й від його часткових похідних . Подробиці наведені в статті . Однак коли варіація метрики зникає в околицях границі або коли границі немає, цей член не дає внеску у варіацію дії. Таким чином, ми можемо забути про цей член і просто отриматидля подій не на замиканні границі.
Варіація визначника , правило диференціювання визначника, дає:
,
тобто можна перейти в систему координат, де діагональна, а потім застосувати правило добутку, щоб продиференціювати добуток членів на головній діагоналі. Використовуючи це, ми отримуємо
.
В останній рівності ми використали той факт, що
,
що випливає з правила диференціювання оберненої матриці
.
Таким чином робимо висновок
Рівняння руху Тепер, коли ми маємо в своєму розпорядженні всі необхідні варіації, ми можемо підставити () і () в рівняння руху () для метричного поля, отримуючияке є рівнянням поля Ейнштейна, а
було обрано таким чином, щоб нерелятивістський граничний випадок давав звичайну форму ньютонівського закону всесвітнього тяжіння, де є гравітаційною сталою.
Космологічна стала Коли в лагранжіан включена космологічна стала Λ, дія стає
.
Беручи варіації за зворотною метрикою, отримуємо
За принципом найменшої дії,
Комбінуючи цей вираз із результатами, отриманими раніше:
ми можемо отримати
З вираз стає рівнянням поля з космологічною сталою:
Примітки
Література
Hilbert, D. (1915) Die Grundlagen der Physik (German original for free) (English translation for $25), Konigl. Gesell. d. Wiss. Göttingen, Nachr. Math.-Phys. Kl. 395—407
Christopher M. Hirata Lecture 33: Lagrangian formulation of GR (27 April 2012).