Ряд Шлемільха — це розклад в ряд, подібний до розкладу в ряд Фур'є, двічі неперервно диференційованої функції на інтервалі по функціях Бесселя першого роду нульового індексу, який названо на честь німецького математика , який вивів його у 1857 році.Schlomilch, G. (1857). On Bessel's function. Zeitschrift fur Math, and Pkys., 2, 155—158.Lord Rayleigh (1911). LXII. On a physical interpretation of Schlömilch's theorem in Bessel's functions. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 21(124), 567—571.Watson, G. N. (1995). A treatise on the theory of Bessel functions. Cambridge university press.Chapman, S. (1911). On the general theory of summability, with application to Fourier's and other series. Quarterly Journal, 43, 1-52. А саме, дійсна функція допускає розвинення в ряд вигляду
у якому
Приклади Нульова функція на інтервалі може бути представлена рядом Шлемільха, . Такий результат неможливо отримати за допомогою ряду Фур'є. Це цікаво з тої точки зору, що нульова функція представлена розвиненням у ряд, у якому не всі коефіцієнти дорівнюють нулю (у випадку довільного ряду Фур'є — всі коефіцієнти розкладу будуть нулями). Ряд збігається тільки тоді, коли .
Це розвинення було узагальнене Нільсом НільсеномNielsen, N. (1904). Handbuch der theorie der cylinderfunktionen. BG Teubner.
де і або і .
Ще деякі приклади рядів Шлемільха:
Якщо — циліндричні полярні координати, то ряд задовольняє рівняння Лапласа при .
Список літератури