W analizie statystycznej szeregów czasowych proces trendostacjonarny (ang. ) jest procesem stochastycznym, z którego można usunąć leżący u podstaw trend (funkcję zależną wyłącznie od czasu), pozostawiając proces stacjonarny. Trend nie musi być liniowy.

Z kolei jeśli do osiągnięcia stacjonarności procesu wymagane jest różnicowanie, taki proces nazywa się go przyrostostacjonarnym (). Proces przyrostostacjonarny posiada jeden lub więcej pierwiastków jednostkowych. Trendostacjonarność i przyrostostacjonarność mogą być czasami mylone, ale chociaż mają wspólne właściwości, różnią się pod wieloma względami. Możliwe jest, aby szereg czasowy był niestacjonarny, ale nie miał pierwiastka jednostkowego i był trendostacjonarny. Zarówno w procesach z pierwiastkiem jednostkowym, jak i w procesach trendostacjonarnych średnia może rosnąć lub maleć w czasie; jednak w przypadku wystąpienia szoku procesy trendostacjonarne wykazują powrót do średniej (tzn. szok ma charakter przejściowy, szereg czasowy zbiegnie się ponownie do rosnącej średniej, na którą szok nie miał wpływu), natomiast w procesach z pierwiastkiem jednostkowym szok powoduje trwałą zmianę średniej (tj. brak zbieżności w czasie).

Definicja formalna Proces {Y} nazywamy trendostacjonarnym, jeżeliNelson, Charles R. and Plosser, Charles I. (1982), "Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series: Some Evidence and Implications," Journal of Monetary Economics, 10, 139–162.

gdzie t to czas, f to dowolna funkcja odwzorowująca liczby rzeczywiste w liczby rzeczywiste, a {e} to proces stacjonarny. Wartość nazywa się wartością trendu procesu w czasie t.

Najprostszy przykład: stacjonarność wokół trendu liniowego Załóżmy, że zmienna Y ewoluuje zgodnie z

gdzie t to czas, a et to składnik losowy, co do którego zakłada się, że jest białym szumem lub, bardziej ogólnie, że został wygenerowany przez dowolny proces stacjonarny. Następnie można użyć Hegwood, Natalie, and Papell, David H. "Are real GDP levels trend, difference, or regime-wise trend stationary? Evidence from panel data tests incorporating structural change." http://www.uh.edu/~dpapell/realgdp.pdf Lucke, Bernd. "Is Germany‘s GDP trend-stationary? A measurement-with-theory approach." regresji liniowej, aby uzyskać oszacowanie prawdziwego, bazowego nachylenia trendu i oszacowanie wyrazu wolnego b; jeśli estymator jest istotnie różny od zera, jest to wystarczające, aby z wysokim poziomem ufności wykazać, że zmienna Y jest niestacjonarna. Reszty z tej regresji są podane wzorem

Jeżeli można statystycznie wykazać, że szacowane reszty są stacjonarne (dokładniej, jeżeli można odrzucić hipotezę zakładającą, że prawdziwe błędy bazowe są niestacjonarne), wówczas reszty te określa się mianem danych bez trendu, a oryginalny szereg {Yt} określa się jako trendostacjonarny, mimo że nie jest stacjonarny.

Stacjonarność wokół innych rodzajów trendów

Wzrost wykładniczy Wiele ekonomicznych szeregów czasowych charakteryzuje się wzrostem wykładniczym. Na przykład załóżmy, że rozważamy hipotezę mówiącą, że produkt krajowy brutto charakteryzuje się stacjonarnymi odchyleniami od trendu charakteryzującego się stałą stopą wzrostu. Wówczas można go modelować jako

przy założeniu, że Ut jest procesem błędów stacjonarnych. Aby oszacować parametry i B, najpierw należy obliczyć logarytm naturalny (ln) obu stron tego równania:

To równanie ma taką samą postać jak poprzednie równanie trendu liniowego i może zostać poddane usunięciu trendu w ten sam sposób. W wyniku otrzymuje się jako wartość bez trendu dla a w konsekwencji jako wartość po usunięciu trendu pod warunkiem, że można odrzucić hipotezę o niestacjonarności .

Trend kwadratowy Trendy nie muszą być liniowe ani logarytmiczno-liniowe. Na przykład zmienna może mieć trend kwadratowy (paraboliczny):

Model ten można poddać regresji liniowej względem współczynników, używając t i t2 jako zmiennych objaśniających; ponownie, jeśli reszty okażą się stacjonarne, to będą one wartościami po usunięciu trendu.

Zobacz też

Oszacowanie trendu

Test KPSS Przypisy

Kategoria:Analiza szeregów czasowych