Dla macierzy definiuje się
W tej notacji hipoteza Crouzeixa jest równoważna stwierdzeniu, że
dla każdej zespolonej macierzy kwadratowej .
Iloraz Crouzeixa jest niezmienniczy względem podobieństwa unitarnego oraz względem afinicznych przekształceń macierzy postaci gdzie Takie redukcje są wykorzystywane w analizie numerycznej hipotezy i w badaniu klas specjalnych.
Wersja całkowicie ograniczona Istnieje silniejsza, całkowicie ograniczona wersja hipotezy. Zamiast wielomianów skalarnych rozważa się wtedy wielomiany o wartościach macierzowych, czyli macierze wielomianów oraz operator blokowy Silna wersja przewiduje nierówność
Wynik Crouzeixa i Palencii ze stałą zachodzi również w tej całkowicie ograniczonej wersji. W niektórych znanych przypadkach szczególnych udało się udowodnić nawet całkowicie ograniczoną wersję ze stałą .
Znane przypadki szczególne Hipoteza jest znana dla wielu szczególnych klas macierzy, choć pozostaje otwarta w pełnej ogólności.
Do podstawowych przypadków należą: