Liczby zespolone powiązano z funkcją wykładniczą (Leonhard Euler) i zaczęto je opisywać za pomocą płaszczyzny (Caspar Wessel, Jean-Robert Argand i Carl Friedrich Gauss).
U schyłku XVIII wieku, w toku badań nad równaniami wielomianowymi, narodziły się zręby teorii grup permutacji – w pracach Lagrange’a i Ruffiniego.
XIX wiek mały|Diagram cykli w grupie kwaternionów Q8
XIX stulecie to rewolucja w algebrze – rozwiązano jej tradycyjne problemy i bardzo poszerzono jej zakres badań, tworząc algebrę abstrakcyjną. Kluczowe kroki uczynili tu m.in. Niels Henrik Abel i Évariste Galois – ich twierdzenia o równaniach wielomianowych to początki teorii Galois. Leżącą w jej sercu teorię grup rozwijali potem Marie Ennemond Camille Jordan, Leopold Kronecker, Felix Klein, Ferdinand Georg Frobenius, Richard Dedekind, Otto Ludwig Hölder, Peter Sylow i Marius Sophus Lie, a ten ostatni otworzył jej nową dziedzinę – teorię grup Liego.
Augustus De Morgan wynalazł relacje w algebrze, o których pisał w swoim dziele Syllabus of a Proposed System of Logic.