Kryterium Sylvestera w określaniu rodzaju punktów krytycznych Jeżeli macierz Hessego jest symetryczna w punkcie krytycznym, to do określania charakter tego punktu można użyć też kryterium Sylvestera:
(1) Minory główne wiodące macierzy Hessego wskazują na minimum lokalne, gdy wszystkie są dodatnie, zaś sekwencja znaków tych minorów, począwszy od minora 1-go stopnia do n-tego stopnia, wskazuje na lokalne maksimum.
(2) Minory główne 1-go stopnia (tj. elementy macierzy Hessego leżące na jej przekątnej) takie że co najmniej dwa z nich mają różne znaki, wskazują na punkt siodłowy (pozostałe minory mogą być zerami).
Ogólnie: macierz Hessego jest nieokreślona, gdy licząc minory główne stopnia znajdziemy przynajmniej dwa minory tego samego stopnia, które mają różne znaki - wtedy mamy punkt siodłowy w punkcie krytycznym.
(3) Gdy wszystkie minory główne stopnia są oraz istnieje przynajmniej jeden element macierzy Hessego, który jest niezerowy, to macierz Hessego jest dodatnio półokreślona.
(4) Gdy minory główne są dla stopni nieparzystych i dla stopni parzystych, oraz istnieje przynajmniej jeden element macierzy Hessego niezerowy, to macierz Hessego jest ujemnie półokreślona.
(5) Gdy wszystkie elementy macierzy Hessego są równe zeru, to macierz Hessego jest zdegenerowana.