Formalnie są to formuły zdaniowe, zapisywane w języku danej teorii z użyciem symboli jej języka i dodatkowo symboli logicznych, w tym kwantyfikatorów. Przykład: twierdzenie geometryczne „Przez dwa dowolne punkty można przeprowadzić prostą” formalnie da się zapisać następująco:
czyli: Jeśli i są punktami, to istnieje taka prosta że oraz leżą na
Niektóre z tych twierdzeń można wyprowadzić z innych twierdzeń danej teorii. Dowodząc jakiegoś twierdzenia, należy oprzeć dowód na innych twierdzeniach, które z kolei także należałoby udowodnić i tak dalej. Jeśli więc jakikolwiek dowód ma mieć skończoną długość, potrzebne są jakieś zdania, których prawdziwość da się przyjąć bez dowodu. Takie zdania nazywane są aksjomatami, a ich zbiór aksjomatyką.
Dana teoria może być zaksjomatyzowana na wiele różnych sposobów; przykładem jest tu geometria euklidesowa, dla której oprócz aksjomatów Euklidesa istnieje też aksjomatyka Hilberta i von Neumanna. Te dwie ostatnie są sobie równoważne, to znaczy każdą można wyprowadzić z tej drugiej. Aksjomatyka Euklidesa jest uboższa od nich, właściwie nie opisuje pełnej teorii geometrii euklidesowej, a jedynie jej podzbiór.