Przykładem twierdzenia geometrycznego niedającego się wyprowadzić z aksjomatów Euklidesa jest twierdzenie Pappusa-Pascala.
Formalnie aksjomatem może być dowolna niesprzeczna wewnętrznie formuła zdaniowa wyrażona w języku danej teorii. Wszelkie stosowane w praktyce aksjomaty są jednak zdaniami zawsze prawdziwymi w obrębie danej teorii (tautologiami), są wzajemnie niesprzeczne i odpowiadają również węższym definicjom podanym w poprzednim akapicie i na początku artykułu. Zwykle aksjomatyka jest też kategoryczna. Powody ku temu zostaną wyjaśnione w dalszej części artykułu.
Modelowanie Z teoriami matematycznymi związane są tzw. modele tych teorii. Stworzenie modelu oznacza określenie (zinterpretowanie) każdego z symboli języka danej teorii za pomocą symboli języka innej teorii. Przykład: dla dwuwymiarowej geometrii euklidesowej typowym modelem jest przestrzeń kartezjańska oparta na aksjomatach arytmetyki,
gdzie: punkt został zinterpretowany jako para uporządkowana liczb rzeczywistych (to znaczy formalnie uznajemy za prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy jest parą takich liczb), prosta została zinterpretowana jako zbiór tych par spełniających równanie relacja „punkt leży na prostej” jako relacja przynależności do zbioru.