Rozważa się nieskończoną hierarchię mocy zbiorów nieskończonych, tak zwaną hierarchię liczb kardynalnych. Kolejne moce zbiorów nieskończonych (liczby kardynalne) oznacza się symbolem pierwszej litery alfabetu hebrajskiego alef indeksowanym kolejnymi liczbami porządkowymi:
Liczby kardynalne można nie tylko porównywać, ale także przeprowadzać na nich operacje: dodawania, mnożenia oraz potęgowaniaZaawansowana teoria potęgowania liczb kardynalnych (teoria PCF – possible cofinalities) została stworzona przez izraelskiego matematyka Saharona Szelacha..
Z początku wielu matematyków bardzo nieufnie podchodziło do rozważań Cantora i jego stosunku do nieskończoności aktualnej, uważając, że są one zbyt oddalone od intuicji. Henri Poincaré twierdził: "Następne pokolenia potraktują teorię zbiorów jako chorobę, z której udało im się wyleczyć". Okazało się jednak, że dzięki użyciu metod teorii mnogości nastąpił gwałtowny rozwój z jednej strony podstaw matematyki, a z drugiej strony całej matematyki. Cantor uporządkował chaos definicyjny, zastępując nieścisłe pojęcia wielkości i liczby pojęciami zbioru i liczby kardynalnej. Z drugiej strony, systematyczne i ścisłe badanie nieskończoności aktualnych szybko doprowadziło do problemów takich jak hipoteza continuum, które wymagały zrewidowania całego aparatu logiki matematycznej.