Często zakłada się, że jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych, zaś na określona jest topologia liniowa. W zastosowaniach (np. równania różniczkowe) bada się często wartości własne operatorów liniowych określonych na przestrzeniach Banacha, Hilberta itp. W dalszej części artykułu będziemy zakładać ogólnie, że jest pewną przestrzenią Banacha, a jest ustalonym operatorem liniowym i ciągłym.
Własności Jeżeli jest samosprzężonym operatorem liniowym na przestrzeni Hilberta to wartości własne tego operatora są rzeczywiste, ponadto wektory własne, odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne. Jeżeli jest wartością własną operatora to (założenie zupełności przestrzeni jest tu nieistotne). Liczba jest wartością własną operatora wtedy i tylko wtedy, gdy operator nie jest różnowartościowy. Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne. Jeśli macierz potraktować jako macierz przekształcenia liniowego pewnej przestrzeni liniowej to wektory własne odpowiadające tej samej wartości własnej tworzą podprzestrzeń. Jeśli suma wymiarów podprzestrzeni z powyższej własności jest równa wymiarowi to wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym tworzą bazę tej przestrzeni.
Przestrzenie skończenie wymiarowe - twierdzenia
Tw.