Określmy dla operator brzegu zadany na generatorach wzorem:
gdzie oznacza sympleks rozpięty na wierzchołkach Wzór ten oznacza, że obrazem singularnego n-sympleksu jest suma singularnych (n-1)-sympleksów będących obcięciami n-sympleksu do jego ścian, ze współczynnikami równymi naprzemiennie 1 i −1.
Proste przekształcenia algebraiczne pozwalają stwierdzić, że zatem grupy łańcuchów wraz z operatorami brzegu tworzą kompleks łańcuchowy, zwany kompleksem singularnym.
Grupy homologii singularnych Mając ustaloną przestrzeń możemy określić grupy homologii singularnych jako grupy homologii stowarzyszone z kompleksem singularnym.
Dla przykładu, biorąc za przestrzeń jednopunktową zauważamy, że dla każdego istnieje dokładnie jeden n-sympleks singularny w W związku z tym, grupy łańcuchów są izomorficzne z i generowane przez ten jedyny sympleks.