miniaturadeimagen|275x275px|Na imaxe amuésase una rellación ente un conxuntu de polígonos y un conxuntu de númberos. A cada polígonu correspuénde-y el so númberu de llaos.|alt=Brutu de Voltaire o en pequeños miniaturadeimagen|307x307px|Una función vista como una caxa negra», que tresforma los valores o oxetos de «entrada» nos valores o oxetos de «salida» En matemátiques, dizse qu'una magnitú o cantidá ye función d'otru si'l valor de la primera depende del valor de la segunda. Por casu, l'área A d'un círculu ye función del so radiu r (el valor del área ye proporcional al cuadráu del radiu, A = π·r2). De la mesma, la duración T d'un viaxe en tren ente dos ciudaes separaes por una distancia d de 150 km depende de la velocidá v a la que se mueva'l tren (la duración ye inversamente proporcional a la velocidá, d / v). A la primer magnitú (l'área, la duración) #denominar variable dependiente, y la cantidá de la que depende (el radiu, la velocidá) ye la variable independiente.
N'analís matemáticu, el conceutu xeneral de función, aplicación o mapeo refierse a una regla qu'asigna a cada elementu d'un primer conxuntu un únicu elementu d'un segundu conxuntu (correspondencia matemática). Por casu, cada númberu enteru tien un únicu cuadráu, que resulta ser un númberu natural (incluyendo'l cero): ... −2 → +4, −1 → +1, 0 → 0, +1 → +1, +2 → +4, +3 → +9, ... Esta asignación constitúi una función ente'l conxuntu de los númberos enteros Z y el conxuntu de los númberos naturales N. Anque les funciones que manipolien númberos son les más conocíes, nun son l'únicu exemplu: puede imaxinase una función qu'a cada pallabra del asturianu asígne-y la so lletra inicial: ..., Estación → E, Muséu → M, Regueru → R, Rosa → R, Avión → A, ... Esta ye una función ente'l conxuntu de les pallabres del Aasturianu y el conxuntu de les lletres del alfabetu asturianu.
La manera habitual de denotar una función f ye: f: A → B a → f(a), onde A ye'l dominiu de la función f, el so primer conxuntu o conxuntu de partida; y B ye'l codominio de f, el so segundu conxuntu o conxuntu de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmu pa llograr la imaxe d'un ciertu oxetu arbitrariu a del dominiu A, esto ye, el (únicu) oxetu de B que-y correspuende. N'ocasiones esta espresión ye abonda pa especificar la función por completu, infiriendo'l dominiu y codominio pol contestu. Nel exemplu anterior, les funciones cuadráu» y «inicial», llámese-yos f y g, se denotarían entós como: f: Z → N k → k2, o cenciellamente f(k) = k2;
g: V → A p → Inicial de p; si se convién V = {Pallabres del asturianu} y A = {Alfabetu asturianu}.
Una función puede representase de diverses formes: por aciu el citáu algoritmu o ecuaciones pa llograr la imaxe de cada elementu, por aciu una tabla de valores qu'empareye cada valor de la variable independiente cola so imaxe —como les amosaes enriba—, o como una gráfica que dea una imaxe de la función.
Historia miniaturadeimagen|228x228px|Gottfried Leibniz acuñó'l términu «función» nel sieglu XVII. El conceutu de función como un oxetu matemáticu independiente, susceptible de ser estudiáu por sigo solo, nun apaeció hasta los principios del cálculu nel sieglu XVII.Esta seición está basada en René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia ente dos cantidaes variables. Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetru». La notación f(x) foi utilizada per primer vegada por A.C. Clairaut, y por Leonhard Euler na so obra Commentarii de San petersburgo en 1736.
Primeramente, una función #identificar a efeutos práuticos con una espresión analítica que dexaba calcular los sos valores. Sicasí, esta definición tenía delles llimitaciones: espresiones distintes pueden refundiar los mesmos valores, y non toles dependencies» ente dos cantidaes pueden espresase d'esta manera. En 1837 Dirichlet propunxo la definición moderna de función numbérica como una correspondencia cualesquier ente dos conxuntos de númberos, qu'acomuña a cada númberu nel primer conxuntu un únicu númberu del segundu.
La intuición sobre'l conceutu de función tamién evolucionó. Primeramente la dependencia ente dos cantidaes imaxinábase como un procesu físicu, de cuenta que la so espresión alxebraica prindaba la llei física que correspondía a este. L'enclín a una mayor astracción viose reforzada a midida que atopáronse exemplos de funciones ensin espresión analítica o representación xeométrica sencielles, o ensin rellación con nengún fenómenu natural; y polos exemplos «patolóxicos» como funciones continues ensin derivada en nengún puntu.
Mientres el sieglu XIX Julius Wilhelm Richard Dedekind, Karl Weierstrass, Georg Cantor, partiendo d'un estudiu fondu de los númberos reales, desenvolvieron la teoría de funciones, siendo esta teoría independiente del sistema de numberación emplegáu.[cita Col desenvolvimientu de la teoría de conxuntos, nos sieglos XIX y XX surdió la definición actual de función, como una correspondencia ente dos conxuntos d'oxetos cualesquier, non necesariamente numbéricos.Dorronsoro, Jorge; Hernández, Eugenio (1996). Tamién se #acomuñar con otros conceutos venceyaos como'l de rellación binaria.
Introducción miniaturadeimagen|275x275px|Representación gráfica de la velocidá d'un cuerpu aceleráu a 0,66 m/s2. Una función ye un oxetu matemáticu que s'utiliza pa espresar la dependencia ente dos #magnitud, y puede presentase al traviés de dellos aspeutos complementarios. Un exemplu habitual de función numbérica ye la rellación ente la posición y el tiempu nel movimientu d'un cuerpu.
Un móvil que se mueve con una aceleración de 0,66 m/s2 percuerre una distancia d que ta en función del tiempu trescurríu t. Dizse que d ye la variable dependiente de t, la variable independiente. Estes magnitúes, calculaes a priori o midíes nun esperimentu, pueden conseñase de delles maneres. (Supónse que'l cuerpu parte nun intre nel que se convién que'l tiempu ye t = 0 s.)
Los valores de les variables pueden recoyese nuna tabla, anotando la distancia percorrida d nun ciertu intre t, pa dellos momentos distintos:Tiempu t (s)Distancia d (m)0,00,00,50,11,00,31,50,72,01,32,52,0La gráfica na imaxe ye una manera equivalente de presentar la mesma información. #Cada puntu de la curva colorada representa una pareya de #dato #tiempo-alloña, utilizando la correspondencia ente puntos y coordenaes del planu cartesianu. Tamién puede utilizase una regla o algoritmu que dicte como s'hai de calcular d a partir de t. Nesti casu, la distancia que percuerre un cuerpu con esta aceleración ta dada pola espresión: d = 0,33 × t2, onde les magnitúes espresen unidaes del SI. D'estos trés maneres refléxase qu'esiste una dependencia ente dambes magnitúes.
Una función tamién puede reflexar la rellación d'una variable dependiente con delles variables independientes. Si'l cuerpu del exemplu #mover con una aceleración constante pero indeterminao a, la distancia percorrida ye una función entós d'a y t; en particular, d = a·t2/2. Les funciones tamién s'utilicen pa espresar la dependencia ente otros oxetos cualesquier, non solo los númberos. Por casu, esiste una función qu'a cada polígonu asígna-y el so númberu de llaos; o una función qu'a acaldía de la selmana asígna-y el siguiente: Llunes → Martes, Martes → Miércoles,..., Domingo → Llunes
Definición La definición xeneral de función fai referencia a la dependencia ente los elementos de dos conxuntos dados.
Un oxetu o valor xenéricu a nel dominiu A #denominar la variable independiente; y un oxetu xenéricu b del codominio B ye la variable dependiente. Tamién se-yos llama valores d'entrada y de salida, respeutivamente. Esta definición ye precisa, anque en matemátiques utiliza una definición formal más rigorosa, que constrúi les funciones como un oxetu concretu. Exemplos Tolos númberos reales tienen un cubu, polo qu'esiste la función «cubu» qu'a cada númberu nel dominiu R asígna-y los so cubu nel codominio R. Quitando al 0, tolos númberos reales tienen un únicu inversu. Esiste entós la función inversu» que'l so dominiu son los númberos reales non nulos R \ {0}, y con codominio R. #Cada mamíferu conocíu #clasificar nun xéneru, como Homo, Los sos o Loxodonta. Esiste por tanto una función «clasificación en xéneros» qu'asigna a cada mamíferu de la coleición M = {mamíferos conocíos} el so xéneru. El codominio de «clasificación en xéneros» ye la coleición G = {xéneros de Mammalia}. Esiste una función «área» qu'a cada triángulu del planu (na coleición T de toos ellos, el so dominiu), asígna-y los so área, un númberu real, depués el so codominio ye R. Nunes eleiciones nes que cada votante pueda emitir un únicu votu, esiste una función «voto» qu'asigna a cada eleutor el partíu qu'escueya. Na imaxe amuésase un conxuntu d'eleutores Y y un conxuntu de partíos P, y una función ente ellos.
Funciones con múltiples variables Esisten munchos exemplos de funciones que «precisen dos valores» pa ser calculaes, como la función «tiempu de viaxe» T, que vien dada pol cociente ente la distancia d y la velocidá media v: cada pareya de númberos reales positivos (una distancia y una velocidá) tien acomuñada un númberu real positivu (el tiempu de viaxe). Poro, una función puede tener dos (o más) variables independientes.
La noción de función de múltiples variables independientes nun precisa d'una definición específica separada de la de función ordinaria». La xeneralidá de la definición anterior, na que se contempla que'l dominiu seya un conxuntu d'oxetos matemáticos arbitrarios, dexa omitir la especificación de dos (o más) conxuntos de variables independientes, A1 y A2, por casu. En llugar d'ello, el dominiu tómase como'l conxuntu de les pareyes (a1, a2), con primer componente n'A1 y segunda componente n'A2. Esti conxuntu #denominar el productu cartesianu d'A1 y A2, y se denota por A1 × A2.
D'esta miente los dos variables independientes queden axuntaes nun solu oxetu. Por casu, nel casu de la función T, el so dominiu ye'l conxuntu R+ × R+, el conxuntu de pareyes de númberos reales positivos. Nel casu de más de dos variables, la definición ye la mesma, usando un conxuntu ordenáu de múltiples oxetos, (a1,..., an), una n-tupla. Tamién el casu de múltiples variables dependientes #contemplar d'esta manera. Por casu, una función división puede tomar dos númberos naturales como valores d'entrada (dividendu y divisor) y refundiar dos númberos naturales como valores de salida (cociente y restu). Dizse entós qu'esta función tien como dominiu y codominio el conxuntu N × N.
Notación. Nomenclatura La notación habitual pa presentar una función f con dominiu A y codominio B ye:
Tamién se diz que f ye una función «d'A a B» o «ente A y B». El dominiu d'una función f se denota tamién por dom(f), D(f), Df, etc. Por f(a) #resumir la operación o regla que dexa llograr l'elementu de B acomuñáu a un ciertu a ∈ A, denomináu la imaxe d'a. Exemplos La función «cubu» puede denotarse agora como f: R → R, con f(x) = x3 pa cada númberu real x. La función inversu» ye g: R \ {0} → R, con g(x) = 1/x pa cada x real y non nulu. La función «clasificación en xéneros» puede escribise como γ: M → G, onde γ(m) = Xéneru de m, pa cada mamíferu conocíu m. La función «área» puédese denotar como A: T → R, y entós A(t) = Área de t = B · H/2, onde t ye un triángulu del planu, B la so base, y H el so altor. La función «voto» puede escribise como v: Y → P, onde v(a) = Partíu qu'a votó, pa cada votante a. La notación utilizada pue ser un pocu más laxa, como por casu «la función f(n) = √n». En dicha espresión nun s'especifica que conxuntos se tomen como dominiu y codominio. Polo xeneral, estos van venir daos pol contestu nel que s'especifique dicha función. Nel casu de funciones de delles variables (dos, por casu), la imaxe del par (a1, a2) non se denota por f((a1, a2)), sinón por f(a1, a2), y similarmente para más variables.