miniatura|upright=1.35|La representació d'una funció logarítmica és la seqüència de potències a que s'eleva la base. La gràfica del logaritme en base 2 creua l'eix x a 1 i passa pels punts de coordenades , i . Per exemple, perquè El gràfic s'acosta asimptòticament a l'eix y, i mai l'interseca. miniatura|Gràfiques de les funcions logarítmiques per a diverses bases b: vermell en base e, verd en base 10, i morat en base 1,7. La gràfica talla l'eix de les abscisses x a x=1, ja que qualsevol nombre elevat a 0 és 1, i conté el punt (b,1), ja que qualsevol nombre elevat a la potència 1 és ell mateix. La corba s'aproxima, per valors positius de x propers a 0, a l'eix de les ordenades y, però no hi arriba, ja que no hi ha cap potència d'un nombre real que valgui 0. El logaritme d'un nombre en una certa base és l'exponent al qual cal elevar aquesta base per obtenir el nombre donat. Per exemple, el logaritme de 1000 en base 10 és 3, perquè 1000 és 10 elevat a 3: D'una manera més general, si x = by llavors y és el logaritme de x en base b, el qual s'escriu y = logb(x) o y = logb(by) i, per tant, log10(1000) = log10(103) = 3.
Algunes formes de logaritme són especialment usades. El logaritme en base 10 (b = 10) s'anomena logaritme decimal i té moltes aplicacions en ciència i enginyeria. El logaritme en base 10 log10(x) es representa convencionalment com lg(x). D'altra banda, el logaritme natural o logaritme neperià té el nombre e (≈ 2,718) com a base i s'usa a bastament en matemàtiques pures, especialment en càlcul. Es recomana representar els logaritmes naturals loge(x) com ln(x). Finalment, el logaritme binari utilitza la base 2 (b = 2) i és molt important en informàtica.
Els logaritmes foren introduïts per John Napier a principis del com a mitjà per simplificar els càlculs. Foren adoptats ràpidament per navegants, científics, enginyers i altres per dur a terme còmputs de manera més fàcil utilitzant el regle de càlcul i la taula de logaritmes. Les tedioses passes que consisteixen en multiplicacions de molts dígits es poden reemplaçar per consultes de taules i simples sumes gràcies a la propietat fonamental del logaritme, segons la qual el logaritme d'un producte és la suma dels logaritmes dels factors:
La notació actual dels logaritmes prové de Leonhard Euler, qui els relacionà amb la funció exponencial al .
Els logaritmes apareixen profusament en moltes àrees de ciència i tecnologia. L'escala logarítmica és útil quan les dades cobreixen una àmplia gamma de valors: el logaritme les redueix a un rang més manejable. Per exemple, el decibel és una unitat logarítmica que quantifica el nivell de pressió sonora, i el pH és una mesura logarítmica de l'acidesa d'una dissolució química. Els logaritmes també descriuen intervals musicals i informen alguns models en psicofísica, entre molts altres casos.
De la mateixa manera que el logaritme és la funció inversa de l'exponencial, el logaritme complex és la funció inversa de l'exponencial complexa. El logaritme discret n'és una altra variant que té aplicacions en criptografia de clau pública.
Motivació i definició La funció logarítmica és la inversa de l'operació de potenciació, la qual consisteix a elevar un nombre a una potència. Per exemple, el cub (potència tercera) de 2 és 8, ja que 8 és el producte de tres factors de 2:
Per tant, d'aquí es desprèn que el logaritme de 8 respecte a la base 2 és 3:
Potenciació La potència tercera d'un nombre qualsevol b és el producte de tres factors de b. D'una manera més general, l'elevació d'un nombre b a ln-èsima potència (on n és un nombre natural) s'aconsegueix multiplicant n factors de b. Ln-èsima potència de b s'escriu bn, de tal manera que:
La potenciació es pot estendre a by, on b és un nombre positiu i l'exponent y és un nombre real. Per exemple, b−1 és el recíproc de b, és a dir, (per a més detalls, entre els quals la fórmula , vegeu Potenciació).
Definició El logaritme d'un nombre real positiu x respecte a una base b, un nombre real positiu que no sigui 1,Les restriccions sobre x i b s'expliquen a la secció Propietats analítiques és l'exponent al qual s'ha d'elevar b per donar com a resultat x. En altre paraules, el logaritme de x amb base b és la solució y de l'equació:
El logaritme es denota per "logb(x)" (pronunciat com "logaritme de x en base b" o "logaritme en base b de x"). A l'equació , el valor y és la resposta a la pregunta "a quina potència cal elevar b per obtenir x?". Aquesta qüestió també es pot plantejar (amb una resposta més extensa) per nombres complexos, la qual cosa es tracta a la secció Logaritme complex.
Exemples Per exemple, , ja que 16. Els logaritmes també poden ser negatius:
Ja que:
Un tercer exemple: log10(150) és aproximadament 2,176, nombre que cau entre 2 i 3, d'igual manera que 150 es troba entre i . Finalment, per qualsevol base b, i , ja que i , respectivament.
Propietats dels logaritmes
Moltes fórmules importants, de vegades denominades identitats logarítmiques o lleis logarítmiques, relacionen els logaritmes els uns amb els altres.Tots els enunciats d'aquesta secció es poden trobar a , o , per exemple.
Producte, quocient, potència i arrel El logaritme d'un producte és la suma dels logaritmes dels nombres que s'estan multiplicant, i el logaritme de la divisió entre dos nombres és la diferència dels logaritmes. El logaritme de la potència p-èsima d'un nombre és p vegades el logaritme del nombre, i el logaritme de l'arrel n-èsima d'un nombre és el logaritme del nombre dividit per p. La taula següent llista aquestes identitats amb exemples. Cadascuna de les identitats es pot derivar mitjançant la substitució de les definicions logarítmiques i/o a la part esquerra de les equacions.
Fórmula Exemple producte quocient potència arrel
Canvi de base El logaritme logb(x) es pot calcular a partir dels logaritmes de x i de b respecte a una base arbitrària k utilitzant la següent fórmula:
Les calculadores científiques normalment calculen els logaritmes en base 10 i base e. Els logaritmes respecte a una base qualsevol b es poden determinar fent ús de qualsevol d'aquests dos logaritmes amb la fórmula anterior:
Donat un nombre x i el seu logaritme logb(x) respecte a una base desconeguda b, la base s'obté amb la següent expressió:
Bases particulars Entre totes les opcions possibles per la base, tres són especialment comunes: b = 10, b = e (la constant matemàtica irracional ≈ 2.71828) i b = 2. En anàlisi matemàtica, el logaritme de base e és molt utilitzat a causa de les seves propietats matemàtiques, explicades més avall. D'altra banda, els logaritmes de base 10 són fàcils de fer servir en càlculs manuals en el sistema decimal:
Per tant, log10(x) està relacionat amb el nombre de dígits decimals d'un enter positiu x: el nombre de dígits és l'enter més petit estrictament major que log10(x). Per exemple, log10(1430) és aproximadament 3,15. El següent enter és 4, que és el nombre de dígits de 1430.
Tant el logaritme natural com el logaritme de base dos s'utilitzen en teoria de la informació, concretament en l'ús del nat o del bit, respectivament, com a unitat fonamental d'informació. Els logaritmes binaris també s'utilitzen en informàtica, on el sistema binari és ubic; en teoria musical, on l'interval d'altures de dos (l'octava) és ubic i el cent és el logaritme binari (escalat per 1.200) de la proporció entre dues altures de la mateixa afinació; i en fotografia per mesurar el valor d'exposició.
La taula següent llista notacions comunes per logaritmes amb aquestes bases i els camps on s'utilitzen. Moltes disciplines escriuen log(x) en comptes de logb(x) quan la base es pot deduir a partir del context. La notació blog(x) també es pot trobar. La columna "Notació ISO" llista les designacions suggerides per l'Organització Internacional per a l'Estandardització (ISO 31-11). Com que la notació ha estat utilitzada per totes tres bases (o quan la base és indeterminada o immaterial), la base desitjada sovint s'ha de deduir segons el context o la disciplina. En informàtica i matemàtiques, normalment es refereix a i, respectivament. En altres contexts, sol significar . Extract of page 288
Base bNom del logb(x)Notació ISOAltres notacionsUtilitzan en2 logaritme binari lb(x) ld(x), log(x), lg(x),Vegeu nota 1 a log2(x) Informàtica, teoria de la informació, teoria musical, fotografiae logaritme natural ln(x) log(x)(en matemàtiquesVegeu teorema 3.29 a i molts llenguatges de programació) Matemàtiques, física, química,estadística, economia, teoria de la informació i alguns camps de l'enginyeria.10 logaritme comú lg(x) log(x), log10(x)(en enginyeria, biologia i astronomia) Diversos camps de l'enginyeria (vegeu decibel i més avall), taules logarítmiques, calculadores científiques, espectroscòpia
Càlcul dels logaritmes miniatura|La sèrie de Taylor de la funció ln(z) a z = 1. L'animació presenta les 10 primers aproximacions.
Calcular el logaritme en una base b d'un nombre x és executar un algorisme que faci servir operacions elementals i doni com a resultat, o bé el logaritme, o bé una aproximació tan exacta com es necessiti.
La fórmula de canvi de base permet transformar el problema de calcular el logaritme en una base qualsevol en el problema de fer una divisió de dos logaritmes en una base en la que es tingui un algorisme eficient per calcular-los.
Un mètode per calcular logaritmes (i moltes altres funcions) és aproximar la funció logaritme pel seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Això transforma el problema en calcular el valor d'un polinomi, cosa que es fa emprant només operacions de sumar i multiplicar. Aquest mètode només és adequat pel càlcul dels logaritmes naturals perquè en el cas de logaritmes en qualsevol base, al calcular la derivada per obtenir el desenvolupament en sèrie resulta:
I porta a haver de calcular un altre logaritme. En canvi en el cas del logaritme natural:
El desenvolupament en sèrie de Taylor entorn del punt x = 1 resulta:
Encara que aquesta expressió es pot reescriure de forma que estalviï multiplicacions, el problema d'aquest mètode si es pretén fer un càlcul amb molts dígits de precisió és que la seva convergència és lenta. Vegeu l'article principal.
Un mètode més ràpid és aprofitar que el desenvolupament en sèrie de la funció exponencial convergeix molt ràpid i que la funció logaritme és la inversa de la funció exponencial. Llavors emprar el mètode de Newton per resoldre l'equació:
On y és la incògnita i x el nombre del qual es vol calcular el logaritme.
Pel cas del logaritme en base 2 a l'article principal es descriu un algorisme eficient per calcular-lo.
Etimologia John Napier va proposar públicament el mètode dels logaritmes el 1614, en un llibre titulat Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descripció de la meravellosa regla dels logaritmes). Napier va encunyar el terme per a logaritme en llatí mitjà, logarithmorum, que significa literalment "relació-nombre", com un mot compost format per dues arrels gregues: logos (que significa "proporció”, “raó”, “ràtio” o “paraula") i aritmos, que significa "nombre".
Història miniatura|John Napier (1550–1617), inventor dels logaritmes.Datat el 1616; presentat a la Universitat d'Edinburgh per la seva besneta Margarida, que es va convertir en baronessa de Napier el 1686.|alt=Imatge barroca, assegut amb una barba.