miniatura|Cada nombre del triangle és la suma de les dues xifres superiors. El triangle de Tartaglia, també anomenat triangle de Pascal, és un esquema matemàtic utilitzat per a la potenciació de binomis.Pascal's Triangle. MathWorld
Mètode de construcció Es comença amb un 1. 1 Després s'escriuen dos 1 a sota. 1 1 1
A les següents files, els nombres són el resultat de sumar els dos nombres immediatament superiors. Els nombres situats als laterals, són sempre 1. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Propietats El triangle de Tartaglia té diverses propietats interessants.
En primer lloc, notem que el resultat de sumar els elements de cada fila dona una potència de 2: . Aquest fet és conseqüència immediata del binomi de Newton, ja que:
En segon lloc, donat un binomi a+b elevat a n, pel binomi de Newton es dona la relació següent:
El triangle de Tartaglia ens permet saber els valors que prenen els factors . En el triangle, podem buscar el coeficient binomial del desenvolupament de de la manera següent:
En el triangle busquem la filera n, començant des del 0. Notem que la filera té n+1 termes. Movent-nos en aquesta filera, el coeficient és el terme i-èsim de la filera.
Exemples:
miniatura|Triangle de Pascal amb una alçada de 512. Al pintar els nombres segons si són senars (blau) o parells (groc), apareix el triangle de Sierpinski.
Les fileres de cada triangle són simètriques, ja que: Si ens quedem tan sols amb els múltiples de dos, el triangle guarda una certa similitud amb el triangle de Sierpinski. Diagonals: Les diagonals externes són sempre uns. Els nombres de la sèrie de Fibonacci es troben al sumar els elements de les diagonals formades de pujar d'una fila a l'anterior una posició. Una diagonal més interior dona els nombres naturals (1,2,3,4,5...). La següent diagonal més interior (1,3,6,10...) són nombres triangulars, és a dir, nombres amb què es poden construir triangles. Si es suma cadascun d'aquests nombres amb l'anterior s'obtenen els nombres quadrats. La quarta diagonal correspon als nombres tetraèdrics (s'hi poden construir tetràedres). A la cinquena diagonal, hi ha els nombres pentatòpics, que representen el nombre d'elements dels pentatops. La conjectura de Singmaster postula que el nombre de vegades que apareix cada nombre major que 1 és finit. El nombre 3003 és l'únic que es coneix que apareix fins a vuit vegades al triangle.
Història L'any 1303 matemàtics xinesos ja tenien coneixement d'aquesta matriu triangular. Blaise Pascal la va redescobrir uns segles després.
Bibliografia
Referències
Vegeu també
Francis Galton Quincunx Piràmide de Pascal
Categoria:Polinomis Categoria:Nombres figurats