factor d'integració o factor integrant d'una equació diferencial ordinària, es defineix com una funció (usualment representada per la lletra grega μ) que en multiplicar-se per una equació diferencial no exacta, pot convertir-la en una equació diferencial exacta. El factor d'integració és sols una funció agafada de manera tal que permet resoldre l'equació desitjada.
Història El primer registre del qual es té coneixement sobre un factor integrador com un mètode per resoldre una equació diferencial es troba a l'obra Opera omnia, publicada el 1742 per Johann Bernoulli. No obstant això, el mètode més comunament ensenyat (i del que es parla en aquest article) se li atribueix a Leonhard Euler.
Consideracions Considerant una funció . Es multipliquen ambdues bandes de (1) per
Es vol que la banda esquerra quedi de la forma d'una derivada del producte. De fet, si s'assumeix això, la banda esquerra es pot reordenar com a
I això es pot integrar,
on és una constant (veure constant arbitrària d'integració). I ara es pot resoldre per
Tanmateix, per resoldre explícitament per es necessita trobar l'expressió de Es pot deduir de (2) que obeeix l'equació diferencial
Per aconseguir , es divideixen les dues bandes per
L'equació (5) ara és de la forma d'una derivada logarítmica. Resolent (5) s'obté
Es pot veure que multiplicar per i la propietat són essencials per resoldre aquesta equació diferencial. s'anomena factor d'integració. El nom prové del fet que és una integral, i es comporta com un múltiple de l'equació (d'aquí el factor).
Exemple Donada l'equació diferencial
Es pot observar que en aquest cas
Multiplicant ambdues bandes per s'obté
o bé
que dona
Referències
Vegeu també Mètode de variació dels paràmetres
Categoria:Equacions diferencials