242x242px|La circumferència C amb centre el punt O. En vermell un dels seus radis R i en blau un dels seus diàmetres D.|miniatura
Una circumferència és la corba plana tancada formada pel conjunt de tots els punts del pla la distància dels quals a un punt donat del pla (centre) és constant i anomenada radi. De manera equivalent, és la corba tancada que descriu un punt que es mou sobre el pla amb la condició que la distància entre ell i un punt fixat sigui constant.
S'anomena radi a qualsevol dels segments amb un extrem al centre i l'altre sobre la circumferència; per extensió, també s'anomena radi a la longitud d'aquests segments.
Un diàmetre és qualsevol segment que tingui els seus extrems a la circumferència i que passi pel centre. Tots aquests segments tenen la mateixa longitud, també anomenada diàmetre. Així definit, el diàmetre és doble del radi.
Dividint la longitud de qualsevol circumferència pel seu diàmetre s'obté el valor del nombre irracional que és aproximadament igual a 3,1416. Així que per calcular la longitud de la circumferència s'utilitza la fórmula o de forma equivalent, utilitzant el valor del radi,
El cercle és la figura delimitada per la circumferència. L'àrea de la superfície del cercle és .
Una circumferència no és un polígon perquè no té costats ni vèrtexs tot i que es pot aproximar tant com es vulgui per un polígon regular fent-lo d'un nombre de costats prou gran; per això col·loquialment de vegades es diu que una circumferència és un polígon regular d'infinits costats.
La circumferència és un cas particular d'el·lipse en què els dos focus coincideixen. Les circumferències són les seccions còniques que s'obtenen quan un pla interseca una superfície cònica perpendicularment a l'eix d'aquesta.
L'equació de la circumferència definida com el lloc geomètric dels punts del pla cartesià, situats a distància del punt és
Història miniatura|En aquest manuscrit de el compàs és un símbol de l'acte de Déu de la creació.
La circumferència és coneguda des d'abans del començament de la història escrita. És la base per la roda, que, amb invencions relacionades com les rodes dentades, fan possible gran part de civilització moderna. En matemàtiques, l'estudi de la circumferència ha ajudat a inspirar el desenvolupament de la geometria i càlcul infinitesimal.
La geometria i l'astronomia, especialment en l'edat mitjana, relacionaven la circumferència amb allò diví. Molts creien que hi havia alguna cosa intrínsecament "divina" o "perfecta" que es podria trobar en les circumferències.
Alguns apunts de la història de les circumferències són: 1700 aC – El papir Rhind dona un mètode per trobar l'àrea d'un camp circular. El resultat correspon a 256/81 com a valor aproximat de .Chronology for 30000 BC to 500 BC 300 aC – El llibre 3 dels elements d'Euclides tracta les propietats de les circumferències. 1880 – Lindemann demostra que és transcendent, tancant definitivament l'antic problema que havia ocupat els matemàtics durant mil·lennis de la quadratura del cercle.Squaring the circle
Línies relacionades amb la circumferència miniatura|esquerra|Diverses línies relacionades amb una circumferència Una corda és un segment que té els seus extrems en la circumferència. Una corda que passa pel centre és un diàmetre. El bocí de circumferència que hi ha entre els extrems d'una corda és un arc de circumferència. El segment perpendicular a la corda que va des del centre de la corda fins a l'arc, és la fletxa.
Una recta es diu que és tangent a la circumferència si està en el mateix pla i la toca però no la talla. Això és equivalent a dir que a més d'estar continguda en el pla de la circumferència és perpendicular al diàmetre de la circumferència que passa pel punt de contacte entre la recta i la circumferència.
Una recta es diu que és secant a una circumferència si la talla. Això és equivalent a dir que la intersecció entre la recta i la circumferència són dos punts.
Propietats de la circumferència miniatura|La circumferència és la corba que s'obté en la intersecció d'un con amb un pla perpendicular a l'eix del con. És el cas de la imatge B inferior La figura delimitada per la circumferència s'anomena cercle.
La circumferència és la corba que tanca una àrea més gran per a una llargada donada del seu perímetre. (Vegeu desigualtat isoperimètrica.) La circumferència és una forma altament simètrica: totes les rectes a través del centre formen un eix de simetria de reflexió i té simetria rotacional al voltant del centre per a tots els angles. El seu grup de simetria és el grup ortogonal O(2,R). El grup de rotacions per si sol és el grup circular T. Totes les circumferències són semblants. El perímetre d'una circumferència i el seu radi són proporcionals. L'àrea tancada per la circumferència i el quadrat del seu radi són proporcionals. Les constants de proporcionalitat són 2π i π, respectivament. La circumferència centrada a l'origen amb radi 1 s'anomena la circumferència goniomètrica. A través de tres punts qualssevol, no tots sobre la mateixa recta, hi passa una única circumferència. La circumferència és la corba cònica tancada que s'obté en la intersecció d'un con amb un pla perpendicular a l'eix del con.
La longitud d'una circumferència de radi R és:
Propietats de les cordes Les cordes són equidistants del centre d'una circumferència si i només si són iguals en llargada. La bisectriu perpendicular d'una corda passa a través del centre d'una circumferència; afirmacions equivalents que provenen de la unicitat de la bisectriu perpendicular: Una línia perpendicular a la corda que passa pel centre d'una circumferència divideix la corda en dues parts iguals. El segment de recta que passa pel centre i que divideix una corda en dues parts iguals és perpendicular a la corda. Si un angle central i un angle inscrit d'una circumferència abasten la mateixa corda i en el mateix costat de la corda, llavors l'angle central és dues vegades l'angle inscrit. Si dos angles inscrits abasten la mateixa corda i en el mateix costat de la corda, llavors són iguals. Si dos angles inscrits abasten la mateixa corda i en diferents costats de la corda, llavors són suplementaris. Per a un quadrilàter cíclic, l'angle exterior és igual a l'interior davant angle. Un angle inscrit que abasta un diàmetre és un angle recte. El diàmetre és la corda més llarga de la circumferència.
Propietats de les fletxes La fletxa (també coneguda com el versinus) és un segment de recta dibuixat perpendicular a una corda, entre el punt mitjà de la corda i la circumferència. Si y és la llargada de la corda, i x la llargada de la fletxa, es pot fer servir el teorema de Pitàgores per calcular el radi de l'única circumferència que encaixa amb les dues línies:
Una altra prova d'aquest resultat que depèn només de les dues propietats de la corda donades a dalt és la següent. Donada una corda de llargada y i amb fletxa de llargada x, com que la fletxa s'encreua al punt mitjà de la corda, sabem que és part d'un diàmetre del cercle. Com que el diàmetre és dues vegades el radi, la part "que manca" del diàmetre és de llargada (2r − x). Fent servir el fet que un part d'una corda multiplicada per l'altra part és igual al mateix producte pres al llarg d'una corda que encreua la primera corda, es troba que ((2r − x)x = (y/2)². Resolent per a r, s'obté el resultat que es buscava.
Propietats de les tangents La recta perpendicular a un radi a través del punt final del radi és una tangent a la circumferència. Una línia perpendicular a una tangent a través del punt de contacte amb una circumferència passa a través del centre de la circumferència. Des de qualsevol punt exterior a una circumferència sempre es poden dibuixar dues tangents, i en cada una d'aquestes tangents la distància entre el punt exterior i el punt de contacte amb la circumferència és la mateixa.
Equacions de la circumferència Coordenades cartesianes miniatura|Circumferència de radi r = 1, amb centre a (a, b) = (1.2, -0.5) En un sistema de coordenades cartesianes, s'acostuma a descriure una circumferència centrada en el punt i de radi com:
Desenvolupant l'equació es troba lequació en forma estesa de la circumferència:
,
on ; ; .
Coordenades polars La circumferència de radi centrada en el s'expressa de manera natural en un sistema de coordenades polars com:
Si no està centrada a l'origen, llavors la seva equació en coordenades polars és:
on a és el radi de la circumferència, r0 és la distància de l'origen al centre de la circumferència, i φ és l'angle mesurat en sentit contrari de les agulles del rellotge des de l'eix d'abscisses positiu a la línia que connecta l'origen al centre de la circumferència. Pel cas d'una circumferència centrada a l'origen, es redueix a simplement q r = a. Que és equivalent al cas anterior.
Forma paramètrica També es pot expressar la circumferència en forma paramètrica com:
on t és una variable paramètrica, que s'interpreta geomètricament com l'angle que forma el radi de l'origen a (x, y) amb l'eix d'abscisses.
Coordenades estereogràfiques Alternativament, en coordenades estereogràfiques, la circumferència té una parametrització
Coordenades homogènies En coordenades homogènies cada secció cònica amb l'equació d'una circumferència és de la forma
Es pot demostrar que una secció cònica és una circumferència si i només si el punt I(1: i: 0) i J(1: -i: 0) queden sobre la secció cònica.
Punts d'intersecció amb una recta Per una recta amb l'equació següent:
Per determinar cada punt (x,y) de la recta es fa servir U que és una incògnita. P1 i P₂ són les coordenades de 2 punts de la recta (x1,y1) i (x₂,y₂), la distància entre aquests 2 punts és d'1 unitat (U=1) el que implica que el vector (x1,y1)(x₂,y₂) sigui normalitzat. El punt (x,y) a trobar és doncs:
La circumferència queda definida per l'equació on és el centre de la circumferència i r el seu radi.
La substitució de l'equació de la recta en la circumferència dona una equació de la forma b² - 4ac
Hi ha tres possibles casos en funció del valor de b² - 4ac:
No hi ha intersecció:
La recta és tangent en un punt:
En aquest cas:
Hi ha dos punts d'intersecció:
i
Rectes tangents La recta tangent a una circumferència en un punt P és perpendicular al diàmetre que passa per P. L'equació de la recta tangent a una circumferència de radi r centrada a l'origen en el punt (x1, y1) és
Per tant, el pendent d'una circumferència a (x1, y1) ve donat per:
De forma més general, el pendent en un punt (x, y) a la circumferència , és a dir, la circumferència centrada a (a, b) amb radi r, ve donat per
a condició que .
Relació entre el radi de les circumferències inscrites i el de la circumferència miniatura|Il·lustració de l'única disposició de circumferències inscrites.
Radi de les 2 circumferències més grans inscrites en la circumferència de Radi i de superfície Radi i superfície de les 3 circumferències més grans inscrites Radi i superfície de les 4 circumferències més grans inscrites Radi de les 5 circumferències més grans inscrites Radi de les 7 circumferències més grans inscrites (1 circumferència central envoltada d'altres 6)
Àrea L'àrea del cercle delimitat per una circumferència és:
Teoremes relacionats amb la circumferència Angles inscrits en una circumferència
miniatura|Teorema de l'angle inscrit
Un angle inscrit (en els exemples de la figura són els angles blau i verd) és exactament la meitat de l'angle central corresponent (vermell). Per això, tots els angles inscrits que abracen el mateix arc (rosa) són iguals. Els angles inscrits en l'arc (marró) són suplementaris. En particular, tots els angles inscrits que abracen un diàmetre són un angle recte (ja que l'angle central és de 180 graus).
Potència d'un punt respecte a una circumferència miniatura|Potència d'un punt respecte a una circumferència