En la teoria de jocs, l'equilibri de Nash és un concepte proposat per John Forbes Nash, que fa referència a la solució d'un joc entre dos o més jugadors, en el qual se suposa que cada jugador coneix les estratègies d'equilibri dels altres jugadors, i cap jugador té res a guanyar si només canvia unilateralment la seva pròpia estratègia.Osborne, Martin J., and Ariel Rubinstein. A Course in Game Theory. Cambridge, MA: MIT, 1994. Print.
Si cada jugador ha optat per una estratègia i cap jugador es pot beneficiar canviant la seva estratègia si els altres jugadors conserven la seva sense canvis, el conjunt d'opcions estratègiques i els guanys corresponents constitueixen un equilibri de Nash. La implicació pràctica i general és que quan els jugadors actuen també en els interessos del grup, llavors ells estan en millor situació que si actuessin en els seus interessos individuals per si sols.
Com que l'equilibri de Nash se centra en les preferències de cada individu, es poden produir resultats antiintuïtius. Pot haver-hi un equilibri de Nash en cas que si els jugadors poguessin coordinar-se, tots canviarien d'estratègia. El joc de la «caça del cérvol» és un exemple d'aquest fet.
En poques paraules, Amy i Phil es troben en equilibri de Nash si Amy pren la millor decisió que pot, tenint en compte la decisió de Phil, i Phil fa la millor decisió que pot, tenint en compte la decisió d'Amy. De la mateixa manera, un grup de jugadors es troben en equilibri de Nash si cada un fa la millor decisió que pot, tenint en compte les decisions dels altres. L'equilibri de Nash no significa necessàriament la millor recompensa per a tots els jugadors involucrats, i en molts casos, tots els jugadors poden millorar els seus beneficis si es poguessin posar-se d'acord sobre les diferents estratègies de l'equilibri de Nash: per exemple, les empreses que competeixen la formació d'un càrtel per tal d'augmentar els seus guanys.
El concepte d'equilibri de Nash no és original de John Forbes Nash, ja que Antoine-Augustin Cournot demostrà com trobar allò que avui en dia anomenem equilibri de Nash per a la competició de Cournot. Per tant, alguns autors es refereixen a aquest concepte com a equilibri de Cournot-Nash o equilibri de Nash-Cournot. Tot i així, fou Nash qui demostrà per primera vegada, a la seva tesi Non-cooperative games (1950) que han d'existir equilibris de Nash per a qualsevol joc finit amb qualsevol nombre de jugadors. Fins llavors, el resultat només s'havia demostrat per a jocs de suma nul·la per a dos jugadors, gràcies a John von Neumann i Oskar Morgenstern el 1947.
Aplicacions Els estudiosos de teoria de jocs utilitzen el concepte d'equilibri de Nash per analitzar el resultat de la interacció estratègica de diversos prenedors de decisions, proporcionant una forma de predir el que succeirà si diverses persones o institucions estan prenent decisions a la vegada, i si el resultat depèn de les decisions dels altres. La idea bàsica subjacent és que no podem predir el resultat de les decisions dels prenedors de decisions múltiples, si analitzem aquestes decisions de manera aïllada. En el seu lloc, hem de preguntar el que cada jugador hauria de fer, tenint en compte la presa de decisions dels altres.
L'equilibri de Nash s'ha utilitzat per analitzar les situacions hostils, com la guerra i la cursa armamentistaSchelling, Thomas, The Strategy of Conflict, copyright 1960, 1980, Harvard University Press, (vegeu dilema del presoner), i també com el conflicte pot ser mitigat per la interacció repetida (vegeu Estira-i-arronsa). També s'ha utilitzat per estudiar en quina mesura les persones amb preferències diferents poden cooperar (vegeu batalla dels sexes), i si van a córrer riscos per aconseguir un resultat cooperatiu (vegeu caça del cérvol). S'ha utilitzat per estudiar l'adopció d'estàndards tècnics, i també l'aparició del pànic bancari i la crisi monetària (vegeu joc de la coordinació). Altres aplicacions inclouen el flux de trànsit (vegeu principi de Wardrop), la forma d'organitzar subhastes (vegeu teoria de la subhasta), el resultat dels esforços desplegats per diverses parts en el procés de l'educació,G. De Fraja, T. Oliveira, L. Zanchi (2010), 'Must Try Harder: Evaluating the Role of Effort in Educational Attainment'. "The Review of Economis and Statistics" 92:3. p. 577-597 i àdhuc els penals en el futbol (vegeu joc de les monedes).P. Chiappori, S. Levitt, and T. Groseclose (2002), 'Testing Mixed-Strategy Equilibria When Players Are Heterogeneous: The Case of Penalty Kicks in Soccer'. American Economic Review 92, p. 1138-51.
Història Una versió del concepte d'equilibri de Nash va ser utilitzat per primera vegada per Antoine Augustin Cournot en la seva teoria de l'oligopoli (1838). En la teoria de Cournot, les empreses trien la quantitat de sortida que han de produir per maximitzar el seu propi benefici. No obstant això, la millor sortida per a una empresa depèn dels resultats de les altres. Un equilibri de Cournot es produeix quan la producció de cada empresa maximitza els seus beneficis, donada la sortida de les altres empreses, la qual cosa és una estratègia pura d'equilibri de Nash.
En la moderna teoria de jocs el concepte d'equilibri de Nash està definit en termes d'estratègies barrejades, on els jugadors trien una distribució de probabilitat sobre les possibles accions. El concepte d'estratègia barrejada d'equilibri de Nash va ser introduït per John von Neumann i Oskar Morgenstern en el seu llibre de 1944 La Teoria de Jocs i el Comportament Econòmic. No obstant això, la seva anàlisi es limita al cas especial de jocs de suma zero. Van demostrar que un equilibri de Nash en estratègies mixtes existeix per a qualsevol joc de suma zero amb un conjunt finit d'accions. La contribució de John Forbes Nash, en l'article de 1951 Dels Jocs no Cooperatius va ser la definició d'una estratègia barrejada d'equilibri de Nash per a qualsevol joc amb un conjunt finit d'accions i demostrar que almenys ha d'existir un (estratègia barretjada) equilibri de Nash en un joc com aquests.
Definicions Definició informal Informalment, un conjunt d'estratègies és un equilibri de Nash si cap jugador pot fer res per canviar unilateralment la seva estratègia per obtenir un resultat millor. Per veure el que això significa, imagineu que a cada jugador se li han dit les estratègies que utilitzen els altres. Suposem llavors que cada jugador es pregunta a si mateix: "Conèguent les estratègies dels altres jugadors, i sabent que el tractament de les estratègies dels altres jugadors no canviaran, em puc beneficiar canviant la meva estratègia?"
Si qualsevol jugador pot respondre "Sí", llavors aquest conjunt d'estratègies no és un equilibri de Nash. Però si cada jugador prefereix no canviar (o li és indiferent canviar o no), llavors el conjunt d'estratègies és un equilibri de Nash. Per tant, cada estratègia en un equilibri de Nash és la millor resposta a totes les altres estratègies en aquest equilibri.
L'equilibri de Nash a vegades pot semblar irracional des de la perspectiva d'una tercera persona. La raó és que l'equilibri de Nash no és l'òptim de Pareto.
L'equilibri de Nash també pot tenir conseqüències no racionals en els jocs seqüencials, ja que els jugadors poden "amenaçar" a l'altre amb maniobres no-racionals. Per a aquest tipus de jocs l'equilibri de Nash perfecte de subjocs pot ser més significatiu, com una eina d'anàlisi.
Definició formal
Sigui (S, f) un joc, on S és el conjunt de perfils d'estratègia i f és el conjunt de perfils de beneficis. Sigui un perfil d'estratègia de tots els jugadors excepte per al jugador . Quan cada jugador escull les estratègies que conformen el perfil d'estratègia llavors el jugador obté el benefici . Cal notar que el benefici depèn del perfil d'estratègia escollit, és a dir, de l'estratègia escollida pel jugador així com de les estratègies escollides per tots els antres jugadors. Un perfil d'estratègia és un equilibri de Nash si cap desviació unilateral en l'estratègia de cap dels jugadors és profitosa, és a dir
Un joc pot tenir un equilibri de Nash d'estratègia pura o un equilibri de Nash en la seva extensió d'estratègia barrejada (en què s'escull una estratègia pura de forma estocàstica amb una freqüència determinada). Nash demostrà que, si es permeten estratègies mesclades, llavors tot joc de n jugadors en què tot jugador pot escollir entre un nombre finit d'estratègies admet, com a mínim un equilibri de Nash.
Quan la desigualtat anterior se subjecta estrictament (amb en lloc de ) per a tots els jugadors i totes les estratègies alternatives factibles, llavors l'equilibri es classifica com un equilibri de Nash estricte. Si per contra, per algun jugador, no és la igualtat exacta entre i alguna altra estratègia en el conjunt S, llavors l'equilibri es classifica com un equilibri feble de Nash.
Exemples Joc de competició Matriu de beneficis d'un joc de competicióJugador 2 tria '0'Jugador 2 tria '1'Jugador 2 tria '2'Jugador 2 tria '3'Jugador 1 tria '0'0, 02, -22, -22, -2Jugador 1 tria '1'-2, 21, 13, -13, -1Jugador 1 tria '2'-2, 2-1, 32, 24, 0Jugador 1 tria '3'-2, 2-1, 30, 43, 3 En una possible formulació d'un joc de benefici per a dos jugadors ambdós jugadors escullen simultàniament un nombre enter de 0 a 3; els dos jugadors guanyen un nombre de punts igual al menor dels dos nombres i, a més, si un jugador escull un nombre superior a l'altre, haurà de donar dos punts al seu contrincant. Aquest joc té un únic equilibri de Nash: que ambdós jugadors triïn el 0 (indicat en vermell a la matriu de beneficis). Qualsevol altra elecció d'estratègies es pot millorar si un dels jugadors baixa el seu nombre a una unitat per sota de l'escollit per l'altre jugador. En la taula de la dreta, per exemple, si els jugadors comencen a la casella de color verd, el jugador 1 es beneficiaria movent-se a la casella porpra escollint un nombre menor mentre que el jugador 2 ho faria movent-se a la casella blava escollint també un nombre menor.
Si el joc es modifica de forma que els dos jugadors guanyen la quantitat escollida si escullen el mateix nombre i en cas contrari no guanyen res, llavors hi ha quatre equilibris de Nash.
Joc de coordinació Matriu de beneficis d'un joc de coordinacióEl jugador 2 adopta l'estratègia 1El jugador 2 adopta l'estratègia 2El jugador 1 adopta l'estratègia 1A, AB, CEl jugador 1 adopta l'estratègia 2C, BD, D
El joc de coordinació és un joc simètric de dos jugadors i dues estratègies, amb la matriu de beneficis que es mostra al costat i en la qual els beneficis compleixen i . D'aquesta manera els jugadors han de cooperar en una de les dues estratègies per aconseguir un benefici elevat; si no cooperen obtindran un benefici menor.
Un exemple famós d'aquest tipus de joc és l'anomenat la caça del cérvol, en el joc de dos jugadors poden optar per caçar un cérvol o un conill, la primera estratègia proporciona més carn (4 unitats d'utilitat) que el segon (1 unitat d'utilitat). L'advertència és que el cérvol ha de ser caçat de forma cooperativa, de manera que si s'intenta per un jugador la caça del cérvol, mentre que l'altre caça el conill, que es produirà una falla en la caça (0 unitats d'utilitat), mentre que si tot-dos el cacen, es repartiran els resultats (2, 2). El joc per tant, presenta dos equilibris al (cérvol, cérvol) i (conill, conill) i per tant, l'estratègia òptima dels jugadors depèn de la seva expectativa respecte al que l'altre jugador pot fer. Si un caçador confia que l'altra anirà a la caça del cérvol, ha de caçar el cérvol, però si ell sospita que l'altre anirà a la caça del conill, ha de caçar el conill. Aquest joc va ser utilitzat com una analogia per a la cooperació social, ja que gran part del benefici augmenta en el cas de persones en societat depèn del fet que les persones cooperin i tinguin confiança implícitament entre elles per actuar d'una manera que correspongui amb la cooperació.