El Teorema d'Engel és un resultat fonamental en l'àrea de la Teoria d'Àlgebres de Lie que estableix una condició necessària i suficient per a la nilpotència d'una àlgebra de Lie.
Enunciat formal El teorema d'Engel es presenta normalment en dues formes equivalents, que connecten la nilpotència de l'àlgebra amb la nilpotència dels seus elements.
Forma 1: Existència d'un vector anul·lador comú Sigui una subàlgebra de Lie d'endomorfismes d'un espai vectorial de dimensió finita (sobre un cos de característica 0, tot i que el teorema és vàlid en general).
Teorema: Si tot element és un endomorfisme nilpotent (és a dir, existeix tal que ), aleshores existeix un vector no nul tal que per a tot .
En altres paraules, el conjunt de transformacions lineals nilpotents tancades per la clau de Lie (el commutador) té un autovector comú associat al valor propi zero.
Forma 2: Caracterització de les àlgebres nilpotents Aquesta forma generalitza la idea al concepte abstracte d'àlgebra de Lie.
Teorema: Una àlgebra de Lie de dimensió finita és nilpotent si i només si l'operador és nilpotent per a tot .
és nilpotent és nilpotent per a tot
L'operador (l'aplicació adjunta) és la transformació lineal definida per . Una àlgebra de Lie és nilpotent si la seva sèrie central descendent (definida per i ) finalment arriba a ser zero: per a algun .
Conseqüències i aplicacions El teorema d'Engel és crucial en la classificació de les àlgebres de Lie:
Forma Triangular Estricta: La conseqüència més important és que si una àlgebra de Lie compleix la condició, llavors existeix una base de respecte a la qual les matrius de tots els elements són triangulars superiors estrictes (és a dir, tenen zeros a la diagonal principal). Nilpotència de l'Àlgebra: El teorema garanteix que una subàlgebra de Lie d'endomorfismes nilpotents és, ella mateixa, una àlgebra de Lie nilpotent (com s'estableix a la Forma 2). Base per al Teorema de Lie: El teorema d'Engel és la contrapartida del Teorema de Lie, que caracteritza les àlgebres de Lie solubles. Ambdós teoremes són essencials en l'estructura de les àlgebres de Lie de dimensió finita.
Referències
Categoria:Teoremes d'àlgebra