miniatura|Exemple d'interpolació bilineal sobre el quadrat unitari amb els valors z 0, 1, 1 i 0,5 tal com s'indica. Els valors interpolats entremig es representen per color. En matemàtiques, la interpolació bilineal és un mètode per interpolar funcions de dues variables (per exemple, x i y) utilitzant interpolació lineal repetida. Normalment s'aplica a funcions mostrejades en una malla rectilínia 2D, tot i que es pot generalitzar a funcions definides en els vèrtexs de (una malla de) quadrilàters convexos arbitraris.
La interpolació bilineal es realitza mitjançant la interpolació lineal primer en una direcció i després en una altra direcció. Tot i que cada pas és lineal en els valors mostrejats i en la posició, la interpolació en conjunt no és lineal sinó quadràtica en la ubicació de la mostra.
La interpolació bilineal és una de les tècniques bàsiques de remostreig en visió per computador i processament d'imatges, on també s'anomena filtratge bilineal o mapatge de textures bilineal.
Computació miniatura|Els quatre punts vermells mostren els punts de dades i el punt verd és el punt en què volem interpolar. Suposem que volem trobar el valor de la funció desconeguda f en el punt (x, y). Se suposa que coneixem el valor de f en els quatre punts Q11 = ( x1 , y 1 ), Q 12 = ( x 1 , y² ), Q²1 = ( x² , y 1 ), i Q 22 = ( x 2 , i 2 ).
Interpolació lineal repetida Primer fem una interpolació lineal en la direcció x . Això dóna com a resultat
Procedim interpolant en la direcció y per obtenir l'estimació desitjada:
Cal tenir en compte que arribarem al mateix resultat si la interpolació es fa primer al llarg de la direcció y i després al llarg de la direcció x.
Ajust polinòmic Una manera alternativa és escriure la solució al problema d'interpolació com un polinomi multilineal
on els coeficients es troben resolent el sistema lineal
donant el resultat
Mitjana ponderada miniatura|Una visualització geomètrica de la interpolació bilineal. El producte del valor al punt desitjat (negre) i l'àrea sencera és igual a la suma dels productes del valor a cada cantonada i l'àrea parcial diagonalment oposada a la cantonada (colors corresponents). La solució també es pot escriure com una mitjana ponderada de f(Q):
on els pesos sumen 1 i satisfan el sistema lineal transposat
donant el resultat
que simplifica a
d'acord amb el resultat obtingut per interpolació lineal repetida. El conjunt de pesos també es pot interpretar com un conjunt de coordenades baricèntriques generalitzades per a un rectangle.
Aplicació en el processament d'imatges En visió per computador i processament d'imatges, la interpolació bilineal s'utilitza per remostrejar imatges i textures. S'utilitza un algoritme per assignar la ubicació d'un píxel de la pantalla a un punt corresponent al mapa de textures. Es calcula una mitjana ponderada dels atributs (color, transparència, etc.) dels quatre tèxels circumdants i s'aplica al píxel de la pantalla. Aquest procés es repeteix per a cada píxel que forma l'objecte que es textura.Bilinear interpolation definition (popular article on www.pcmag.com.
Quan cal ampliar una imatge, cal moure cada píxel de la imatge original en una direcció determinada en funció de la constant d'escala. Tanmateix, quan s'escalen les imatges mitjançant un factor d'escala no integral, hi ha píxels (és a dir, forats) als quals no se'ls assignen els valors de píxel adequats. En aquest cas, aquests forats s'han d'assignar els valors RGB o d'escala de grisos adequats perquè la imatge de sortida no tingui píxels sense valor.
La interpolació bilineal es pot utilitzar quan la transformació perfecta de la imatge amb la coincidència de píxels és impossible, de manera que es poden calcular i assignar valors d'intensitat adequats als píxels. A diferència d'altres tècniques d'interpolació com la interpolació del veí més proper i la interpolació bicúbica, la interpolació bilineal utilitza valors només dels 4 píxels més propers, situats en direccions diagonals des d'un píxel determinat, per tal de trobar els valors d'intensitat de color adequats d'aquest píxel.
La interpolació bilineal considera el veïnat 2 × 2 més proper dels valors de píxels coneguts que envolten la ubicació calculada del píxel desconegut. A continuació, fa una mitjana ponderada d'aquests 4 píxels per arribar al seu valor final, interpolat."Web tutorial: Digital Image Interpolation". alt=Bilinear interpolation|miniatura|Exemple d'interpolació bilineal en valors d'escala de grisos
Referències
Categoria:Matemàtiques Categoria:Geometria