miniatura|Paràmetres del Disseny de filtres El disseny de filtres és el procés de dissenyar un filtre de processament de senyals que satisfaci un conjunt de requisits, alguns dels quals poden ser contradictoris. L'objectiu és trobar una realització del filtre que compleixi cadascun dels requisits en un grau acceptable.
El procés de disseny de filtres es pot descriure com un problema d'optimització. Certes parts del procés de disseny es poden automatitzar, però pot ser necessari un dissenyador experimentat per obtenir un bon resultat.
El disseny de filtres digitals és un tema complex. Tot i que els filtres són fàcils d'entendre i calcular, els reptes pràctics del seu disseny i implementació són significatius i són objecte de recerca avançada.
Requisits típics de disseny Els requisits típics que es poden tenir en compte en el procés de disseny són:
Resposta de freqüència Desplaçament de fase o retard de grup Resposta impulsiva Possible requisit de filtre causal Possible requisit de filtre estable Requisit possible de resposta impulsional finita Complexitat computacional Tecnologia necessària
La funció de freqüència La resposta de freqüència requerida és un paràmetre important. La inclinació i la complexitat de la corba de resposta determinen l'ordre i la viabilitat del filtre.
Un filtre recursiu de primer ordre només tindrà un component dependent de la freqüència. Això significa que el pendent de la resposta de freqüència està limitat a 6 dB per octava. Per a molts propòsits, això no és suficient. Per aconseguir pendents més pronunciats, es necessiten filtres d'ordre superior.
En relació amb la funció de freqüència desitjada, també hi pot haver una funció de ponderació que l'acompanya, que descriu, per a cada freqüència, la importància que la funció de freqüència resultant s'aproximi a la desitjada.
Exemples típics de funció de freqüència són:
Un filtre de pas baix s'utilitza per tallar senyals d'alta freqüència no desitjats. Un filtre de pas alt deixa passar les freqüències altes força bé; és útil com a filtre per tallar qualsevol component de baixa freqüència no desitjat. Un filtre passa-banda deixa passar un rang limitat de freqüències. Un filtre de banda estreta deixa passar freqüències per sobre i per sota d'un cert rang. Un filtre de banda estreta molt estret es coneix com a filtre de reixa. Un filtre de pas total deixa passar totes les freqüències per igual en guany. Només es modifica el canvi de fase, cosa que també afecta el retard de grup. Un diferenciador té una resposta d'amplitud proporcional a la freqüència. Un filtre de plataforma baixa deixa passar totes les freqüències, però augmenta o redueix les freqüències per sota de la freqüència de plataforma en una quantitat especificada. Un filtre de prestatgeria alta deixa passar totes les freqüències, però augmenta o redueix les freqüències per sobre de la freqüència de prestatgeria en una quantitat especificada. Un filtre d'equalització de pics crea un pic o una baixada en la resposta de freqüència, que s'utilitza habitualment en equalitzadors paramètrics.
Exemples típics de funció de freqüència són:
Un filtre de pas baix s'utilitza per tallar senyals d'alta freqüència no desitjats. Un filtre de pas alt deixa passar les freqüències altes força bé; és útil com a filtre per tallar qualsevol component de baixa freqüència no desitjat. Un filtre passa-banda deixa passar un rang limitat de freqüències. Un filtre de banda estreta deixa passar freqüències per sobre i per sota d'un cert rang. Un filtre de banda estreta molt estret es coneix com a filtre de reixa. Un filtre de pas total deixa passar totes les freqüències per igual en guany. Només es modifica el canvi de fase, cosa que també afecta el retard de grup. Un diferenciador té una resposta d'amplitud proporcional a la freqüència. Un filtre de plataforma baixa deixa passar totes les freqüències, però augmenta o redueix les freqüències per sota de la freqüència de plataforma en una quantitat especificada. Un filtre de prestatgeria alta deixa passar totes les freqüències, però augmenta o redueix les freqüències per sobre de la freqüència de prestatgeria en una quantitat especificada. Un filtre d'equalització de pics crea un pic o una baixada en la resposta de freqüència, que s'utilitza habitualment en equalitzadors paramètrics.
Retard de fase i de grup Un filtre pas-total passa per totes les freqüències sense canvis, però canvia la fase del senyal. Els filtres d'aquest tipus es poden utilitzar per igualar el retard de grup dels filtres recursius. Aquest filtre també s'utilitza en efectes de fase. Un transformador de Hilbert és un filtre pas-total específic que deixa passar sinusoides amb una amplitud inalterada però desplaça cada fase sinusoidal en ±90°. Un filtre de retard fraccionari és un filtre de pas total que té un retard de grup o de fase especificat i constant per a totes les freqüències.
La resposta impulsional Hi ha una correspondència directa entre la funció de freqüència del filtre i la seva resposta impulsional: la primera és la transformada de Fourier de la segona. Això significa que qualsevol requisit sobre la funció de freqüència és un requisit sobre la resposta impulsional, i viceversa.
Tanmateix, en certes aplicacions, pot ser la resposta impulsional del filtre la que és explícita i el procés de disseny té com a objectiu produir una aproximació tan propera com sigui possible a la resposta impulsional sol·licitada, tenint en compte tots els altres requisits.
En alguns casos, fins i tot pot ser rellevant considerar una funció de freqüència i una resposta impulsional del filtre que es trien independentment l'una de l'altra. Per exemple, podem voler tant una funció de freqüència específica del filtre com que el filtre resultant tingui una amplada efectiva tan petita com sigui possible en el domini del senyal. Aquesta última condició es pot aconseguir considerant una funció molt estreta com la resposta impulsional desitjada del filtre, tot i que aquesta funció no té cap relació amb la funció de freqüència desitjada. L'objectiu del procés de disseny és, doncs, realitzar un filtre que intenti complir aquests dos objectius de disseny contradictoris tant com sigui possible. Un exemple és l'àudio d'alta resolució en què la resposta de freqüència (magnitud i fase) per a senyals d'estat estacionari (suma de sinusoides) és el requisit principal del filtre, mentre que una resposta impulsional sense restriccions pot causar una degradació inesperada a causa de la dispersió temporal dels senyals transitoris.
Causalitat Qualsevol filtre que operi en temps real (la resposta del filtre només depèn de les entrades actuals i passades) ha de ser causal. Si el procés de disseny produeix un filtre no causal, el filtre resultant es pot fer causal introduint un desplaçament (o retard) temporal adequat.
Els filtres que no operen en temps real (per exemple, per al processament d'imatges) poden ser no causals. Els filtres no causals poden estar dissenyats per tenir retard zero.
Estabilitat Un filtre estable garanteix que cada senyal d'entrada limitat produeixi una resposta de filtre limitada. Un filtre que no compleixi aquest requisit pot resultar inútil o fins i tot perjudicial en algunes situacions. Certs enfocaments de disseny poden garantir l'estabilitat, per exemple, utilitzant només circuits de prealimentació com ara un filtre FIR. D'altra banda, els filtres basats en circuits de retroalimentació tenen altres avantatges i, per tant, poden ser preferibles, fins i tot si aquesta classe de filtres inclou filtres inestables. En aquest cas, els filtres s'han de dissenyar acuradament per evitar la inestabilitat.
Localitat En certes aplicacions hem de tractar senyals que contenen components que es poden descriure com a fenòmens locals, per exemple polsos o passos, que tenen una durada determinada. Una conseqüència d'aplicar un filtre a un senyal és, en termes intuïtius, que la durada del fenomen local s'amplia per l'amplada del filtre. Això implica que de vegades és important mantenir l'amplada de la funció de resposta impulsional del filtre el més curta possible.
Segons la relació d'incertesa de la transformada de Fourier, el producte de l'amplada de la funció de resposta a l'impuls del filtre i l'amplada de la seva funció de freqüència ha de superar una determinada constant. Això significa que qualsevol requisit sobre la localitat del filtre també implica un límit a l'amplada de la seva funció de freqüència. En conseqüència, pot ser que no sigui possible complir simultàniament els requisits sobre la localitat de la funció de resposta a l'impuls del filtre, així com sobre la seva funció de freqüència. Aquest és un exemple típic de requisits contradictoris.
Complexitat computacional Un desig general en qualsevol disseny és que el nombre d'operacions (sumes i multiplicacions) necessàries per calcular la resposta del filtre sigui el més baix possible. En certes aplicacions, aquest desig és un requisit estricte, per exemple a causa de recursos computacionals limitats, recursos d'energia limitats o temps limitat. Aquesta última limitació és típica en aplicacions en temps real.
Hi ha diverses maneres en què un filtre pot tenir una complexitat computacional diferent. Per exemple, l'ordre d'un filtre és més o menys proporcional al nombre d'operacions. Això significa que si escolliu un filtre d'ordre baix, es pot reduir el temps de càlcul.
Per als filtres discrets, la complexitat computacional és més o menys proporcional al nombre de coeficients del filtre. Si el filtre té molts coeficients, per exemple en el cas de senyals multidimensionals com ara dades de tomografia, pot ser rellevant reduir el nombre de coeficients eliminant els que són prou propers a zero. En els filtres multitaxa, el nombre de coeficients aprofitant els seus límits d'amplada de banda, on el senyal d'entrada es redueix (per exemple, a la seva freqüència crítica) i es augmenta després del filtratge.
Una altra qüestió relacionada amb la complexitat computacional és la separabilitat, és a dir, si i com es pot escriure un filtre com una convolució de dos o més filtres més simples. En particular, aquesta qüestió és important per als filtres multidimensionals, per exemple, els filtres 2D que s'utilitzen en el processament d'imatges. En aquest cas, es pot obtenir una reducció significativa de la complexitat computacional si el filtre es pot separar com la convolució d'un filtre 1D en la direcció horitzontal i un filtre 1D en la direcció vertical. Un resultat del procés de disseny del filtre pot ser, per exemple, aproximar algun filtre desitjat com un filtre separable o com una suma de filtres separables.
Altres consideracions També s'ha de decidir com s'implementarà el filtre:
Filtre analògic Filtre mostrejat analògic Filtre digital filtre mecànic
Filtres analògics El disseny de filtres analògics lineals es tracta majoritàriament a la secció de filtres lineals.
Filtres digitals Els filtres digitals es classifiquen en dues formes bàsiques, segons com responen a un impuls unitari: