L'ona expansiva de Taylor-von Neumann-Sedov (o de vegades anomenada ona expansiva de Sedov-von Neumann-Taylor) fa referència a una ona expansiva induïda per una forta explosió. L'ona expansiva va ser descrita mitjançant una solució autosimilar de forma independent per G.I. Taylor, John von Neumann i Leonid Sedov durant la Segona Guerra Mundial.

Història El Ministeri de Seguretat Interior britànic va dir a GI Taylor que podria ser possible produir una bomba en la qual s'alliberés una quantitat molt gran d'energia per fissió nuclear i se li va demanar que informés de l'efecte d'aquestes armes. Taylor va presentar els seus resultats el 27 de juny de 1941. Exactament al mateix temps, als Estats Units, John von Neumann estava treballant en el mateix problema i va presentar els seus resultats el 30 de juny de 1941. Es va dir que Leonid Sedov també estava treballant en el problema més o menys al mateix temps a l'URSS, tot i que Sedov mai va confirmar cap data exacta.

La solució completa va ser publicada per primera vegada per Sedov el 1946. Von Neumann va publicar els seus resultats l'agost de 1947 a l'informe del laboratori científic de Los Alamos sobre Arxivat (PDF) de l'original l'1 de juny de 2022., tot i que aquest informe només es va distribuir el 1958. Taylor va obtenir l'autorització per publicar els seus resultats el 1949 i va publicar els seus treballs en dos articles el 1950. En el segon article, Taylor va calcular l'energia de la bomba atòmica utilitzada a la Trinity (prova nuclear) utilitzant la similitud, només mirant la sèrie de fotografies d'ona expansiva que tenien una escala de longitud i marques de temps, publicades per Julian E Mack el 1947. Aquest càlcul d'energia va causar, en paraules de Taylor, "molta vergonya" (segons Grigory Barenblatt) en cercles del govern dels EUA, ja que el nombre encara estava classificat, tot i que les fotografies publicades per Mack no ho estaven. El biògraf de Taylor, George Batchelor, escriu: Aquesta estimació del rendiment de la primera explosió de la bomba atòmica va causar un gran enrenou... GI va ser lleugerament amonestat per l'exèrcit dels EUA per publicar les seves deduccions de les seves fotografies (no classificades).

Descripció matemàtica Considerem una explosió forta (com ara una bomba nuclear) que allibera una gran quantitat d'energia en un volum petit durant un interval de temps curt. Això crearà una forta ona de xoc esfèrica que es propagarà cap a l'exterior des del centre de l'explosió. La solució autosimilar intenta descriure el flux quan l'ona de xoc s'ha mogut a través d'una distància extremadament gran en comparació amb la mida de l'explosiu. A aquestes grans distàncies, la informació sobre la mida i la durada de l'explosió s'oblidarà; només l'energia alliberada influirà en com evoluciona l'ona de xoc. Amb un grau de precisió molt alt, es pot suposar que l'explosió es va produir en un punt (per exemple, l'origen ) instantàniament en el moment .

Se suposa que l'ona de xoc a la regió autosimilar encara és molt forta, de manera que la pressió darrere de l'ona de xoc és molt gran en comparació amb la pressió (pressió atmosfèrica) davant de l'ona de xoc , que es pot negligir a partir de l'anàlisi. Tot i que la pressió del gas no pertorbat és insignificant, la densitat del gas no pertorbat no es pot negligir, ja que el salt de densitat a través d'ones de xoc fortes és finit com a conseqüència directa de les condicions de Rankine-Hugoniot. Aquesta aproximació és equivalent a establir i la velocitat del so corresponent , però mantenint la seva densitat diferent de zero, és a dir,

Els únics paràmetres que tenim a la nostra disposició són l'energia i la densitat del gas inalterat Les propietats darrere de l'ona de xoc, com ara són derivables dels que es troben davant de l'ona de xoc. L'única combinació adimensional disponible de i és

És raonable suposar que l'evolució en i de l'ona de xoc només depèn de la variable anterior. Això significa que la ubicació de l'ona de xoc correspondrà a un valor concret, per exemple , d'aquesta variable, és a dir,

L'anàlisi detallada que segueix revelarà, al final, que el factor és força propera a la unitat, demostrant així (per a aquest problema) la capacitat predictiva quantitativa de l'anàlisi dimensional per determinar la ubicació de l'ona de xoc en funció del temps. La velocitat de propagació de l'ona de xoc és

Amb l'aproximació descrita anteriorment, les condicions de Rankine-Hugoniot determinen la velocitat del gas immediatament darrere del front de xoc. , i per a un gas ideal de la següent manera

on

és la relació calorífica específica. Com que és una constant, la densitat immediatament darrere de l'ona de xoc no canvia amb el temps, mentre que i disminuir a mesura que i , respectivament.

Solució autosimilar El moviment del gas darrere de l'ona de xoc es regeix per les equacions d'Euler. Per a un gas politròpic ideal amb simetria esfèrica, les equacions per a les variables del fluid com ara la velocitat radial , densitat i pressió són donats per

A , les solucions haurien d'aproximar-se als valors donats per les condicions de Rankine-Hugoniot definides a la secció anterior.

La pressió variable es pot substituir per la velocitat del so ja que la pressió es pot obtenir a partir de la fórmula S'introdueixen les següents variables autosimilars no dimensionals,

Les condicions al front de xoc convertir-se

Substituir les variables autosimilars a les equacions governants donarà lloc a tres equacions diferencials ordinàries. Resoldre aquestes equacions diferencials analíticament és laboriós, com van demostrar Sedov el 1946 i von Neumann el 1947. G.I. Taylor va integrar aquestes equacions numèricament per obtenir els resultats desitjats

La relació entre i es pot deduir directament de la conservació de l'energia. Com que l'energia associada amb el gas no pertorbat es negligeix establint l'energia total del gas dins de l'esfera de xoc ha de ser igual a A causa de l'autosemblança, és clar que no només l'energia total dins d'una esfera de radi és constant, però també l'energia total dins d'una esfera de qualsevol radi (en forma dimensional, diu que l'energia total dins d'una esfera de radi que es mou cap a fora amb una velocitat ha de ser constant). La quantitat d'energia que surt de l'esfera de radi a temps a causa de la velocitat del gas és on és l'entalpia específica del gas. En aquest temps, el radi de l'esfera augmenta amb la velocitat i l'energia del gas en aquest volum addicional augmentat és on és l'energia específica del gas. Igualant aquestes expressions i substituint i que és vàlid per a gasos politròpics ideals condueix a

L'equació de continuïtat i energia es redueix a

class=mw-file-element|300x300px

Expressant i com a funció de només utilitzant la relació obtinguda anteriorment i integrant una vegada s'obté la solució en forma implícita,

on

La constant que determina la ubicació del xoc es pot determinar a partir de la conservació de l'energia

per obtenir

Per a l'aire, i solució per a es mostra a la figura representant gràficament les corbes de i on és la temperatura.

Comportament asimptòtic prop de la regió central El comportament asimptòtic de la regió central es pot investigar prenent el límit . A partir de la figura, es pot observar que la densitat cau a zero molt ràpidament darrere de l'ona de xoc. Tota la massa del gas que inicialment es va estendre uniformement en una esfera de radi ara està continguda en una capa fina darrere de l'ona de xoc, és a dir, tota la massa és impulsada cap a l'exterior per l'acceleració impartida per l'ona de xoc. Per tant, la major part de la regió està bàsicament buida. La relació de pressió també disminueix ràpidament per assolir el valor constant La relació de temperatures es desprèn de la llei dels gasos ideals; com que la relació de densitats disminueix a zero i la relació de pressions és constant, la relació de temperatures ha de ser infinita. La forma límit per a la densitat es dóna de la següent manera:

Recordeu que la densitat és independent del temps mentre que la qual cosa significa que la pressió real depèn del temps. Esdevé evident si les formes anteriors es reescriuen en unitats dimensionals,

La relació de velocitats té un comportament lineal a la regió central,

mentre que el comportament de la velocitat en si ve donat per

Fase final de l'ona expansiva A mesura que l'ona de xoc evoluciona en el temps, la seva força disminueix. La solució autosimilar descrita anteriorment es trenca quan esdevé comparable a (més precisament, quan ). En aquesta etapa posterior de l'evolució, (i en conseqüència ) no es pot negligir. Això significa que l'evolució no és autosimilar, perquè es pot formar una escala de longitud i una escala de temps per descriure el problema. Les equacions governants s'integren numèricament, tal com van fer H. Goldstine i John von Neumann, Brode, i Okhotsimskii et al. A més, en aquesta etapa, l'ona de xoc de compressió va seguida necessàriament d'una ona de rarefacció al darrere; la forma d'ona s'ajusta empíricament mitjançant la forma d'ona de Friedlander.

Explosió de línia cilíndrica El problema anàleg en geometria cilíndrica corresponent a una ona expansiva axisimètrica, com la produïda en un llamp, es pot resoldre analíticament. Aquest problema va ser resolt independentment per Leonid Sedov, A. Sakurai i SC Lin. En geometria cilíndrica, la combinació adimensional que implica la coordenada radial (això és diferent de la en la geometria esfèrica), el temps , l'energia total alliberada per unitat de longitud axial (això és diferent de la utilitzat a la secció anterior) i la densitat ambient es troba que és

Referències

Categoria:Dinàmica de fluids Categoria:Explosius