Geodèsiques en un el·lipsoide

miniatura|200x200px|Una geodèsica sobre un el·lipsoide oblat L'estudi de les geodèsiques en un el·lipsoide va sorgir en relació amb la geodèsia, concretament amb la solució de xarxes de triangulació. La figura de la Terra s'aproxima bé mitjançant un el·lipsoide oblat, una esfera lleugerament aplanada. Una geodèsica és el camí més curt entre dos punts en una superfície corba, anàleg a una línia recta en una superfície plana. La solució d'una xarxa de triangulació en un el·lipsoide és, per tant, un conjunt d'exercicis de trigonometria esferoïdal .

Si la Terra es tracta com una esfera, les geodèsiques són cercles màxims (tots tancats) i els problemes es redueixen a problemes de trigonometria esfèrica. Tanmateix, va demostrar que l'efecte de la rotació de la Terra fa que s'assembli a un el·lipsoide lleugerament achatat: en aquest cas, l'equador i els meridians són les úniques geodèsiques tancades simples. A més, el camí més curt entre dos punts de l'equador no necessàriament recorre l'equador. Finalment, si l'el·lipsoide es pertorba encara més per convertir-se en un el·lipsoide triaxial (amb tres semieixos diferents), només tres geodèsiques estan tancades.

Geodèsiques en un el·lipsoide de revolució Hi ha diverses maneres de definir les geodèsiques . Una definició simple és com el camí més curt entre dos punts d'una superfície. Tanmateix, sovint és més útil definir-los com a camins amb curvatura geodèsica zero, és a dir, l'anàleg de les línies rectes en una superfície corba. Aquesta definició engloba les geodèsiques que viatgen tan lluny per la superfície de l'el·lipsoide que comencen a tornar cap al punt d'inici, de manera que altres rutes són més directes, i inclou camins que es creuen o es tornen a traçar. Els segments prou curts d'una geodèsica continuen sent la ruta més curta entre els seus punts finals, però les geodèsiques no són necessàriament globalment mínimes (és a dir, el més curt entre tots els camins possibles). Cada camí globalment més curt és una geodèsica, però no viceversa.

A finals del segle XVIII, un el·lipsoide de revolució (també s'utilitza el terme esferoide) era una aproximació ben acceptada a la figura de la Terra. L'ajust de les xarxes de triangulació implicava reduir totes les mesures a un el·lipsoide de referència i resoldre el problema bidimensional resultant com a exercici de trigonometria esferoïdal . miniatura|Fig. 1. Una geodèsica AB sobre un el·lipsoide de revolució. N és el pol nord i EFH es troba a l'equador. És possible reduir els diversos problemes geodèsics a un de dos tipus. Considereu dos punts: a la latitud longitud a la i (vegeu la figura 1). La geodèsica connectant (de a ) és , de longitud , que té azimuts i als dos extrems. Els dos problemes geodèsics que se solen considerar són:

El problema geodèsic directe o primer problema geodèsic, donat i determineu i El problema geodèsic invers o segon problema geodèsic, donats i , determineu

Com es pot veure a la figura 1, aquests problemes impliquen resoldre el triangle donat un angle, per al problema directe i per al problema invers, i els seus dos costats adjacents. Per a una esfera, les solucions a aquests problemes són exercicis senzills de trigonometria esfèrica, la solució de la qual ve donada per fórmules per resoldre un triangle esfèric. (Vegeu l'article sobre navegació ortodromàtica.)

Per a un el·lipsoide de revolució, la constant característica que defineix la geodèsica va ser trobada per . i van donar una solució sistemàtica per a les trajectòries de les geodèsiques (i articles posteriors el 1808 i el 1810). va donar la solució completa per al problema directe (amb taules de càlcul i un exemple resolt).

Durant el segle XVIII, les geodèsiques es coneixien típicament com a "línies més curtes". El terme "línia geodèsica" (en realitat, una corba) va ser encunyat per :

Anomenarem aquesta línia com a línia geodèsica.

Aquesta terminologia es va introduir a l'anglès com a "línia geodèsica" o com a "línia geodèsica", per exemple .

Una línia traçada de la manera que hem estat descrivint, o deduïda a partir de mesures trigonomètriques, pels mitjans que hem indicat, s'anomena línia geodèsica o geodèsica: té la propietat de ser la més curta que es pot traçar entre els seus dos extrems a la superfície de la Terra; i per tant és la mesura d'itinerari adequada de la distància entre aquests dos punts.

En la seva adopció per altres camps, es va preferir la línia geodèsica, sovint abreujada com a geodèsica.

Aquesta secció tracta el problema d'un el·lipsoide de revolució (tant oblat com prolat). El problema d'un el·lipsoide triaxial es tracta a la secció següent.

Equacions per a una geodèsica

Aquí es desenvolupen les equacions per a una geodèsica; la derivació segueix de prop la de . , , , , , i també proporcionen derivacions d'aquestes equacions.

Considereu un el·lipsoide de revolució amb radi equatorial i semieix polar . Definiu l'aplanament , l'excentricitat i la segona excentricitat :

Considereu un el·lipsoide de revolució amb radi equatorial i semieix polar . Definiu l'aplanament , l'excentricitat i la segona excentricitat :

(En la majoria d'aplicacions en geodèsia, l'el·lipsoide es considera oblat, ; tanmateix, la teoria s'aplica sense canvis als el·lipsoides prolats, , en aquest cas negatius.)

Sigui un segment elemental d'una trajectòria sobre l'el·lipsoide de longitud . A partir de les figures 2 i 3, veiem que si el seu azimut és , aleshores està relacionat amb i per

on és el radi de curvatura meridional, és el radi del cercle de latitud , i és el radi de curvatura normal. Per tant, el segment elemental ve donat per

o

on i la funció lagrangiana depèn de a través de i . La longitud d'un camí arbitrari entre i ve donada per

on és una funció de que satisfà i . El camí més curt o geodèsica implica trobar la funció que . Aquest és un exercici de càlcul de variacions i la condició de minimització ve donada per la identitat de Beltrami,

Substituint per i utilitzant les equacions obtenim

found this relation, using a geometrical construction; a similar derivation is presented by . Differentiating this relation gives

Això, juntament amb les equacions , condueix a un sistema d'equacions diferencials ordinàries per a una geodèsica

Podem expressar en termes de la latitud paramètrica, , utilitzant

i la relació de Clairaut esdevé aleshores

Aquesta és la regla del sinus de la trigonometria esfèrica que relaciona dos costats del triangle (vegeu la figura 1). 4),

Per tal de trobar la relació per al tercer costat , la longitud de l'arc esfèric, i l'angle inclòs , la longitud esfèrica, és útil considerar el triangle que representa una geodèsica que comença a l'equador; vegeu la figura 5. En aquesta figura, les variables referides a l'esfera auxiliar es mostren amb les quantitats corresponents per a l'el·lipsoide que es mostren entre parèntesis. Les quantitats sense subíndexs es refereixen al punt arbitrari ; , el punt en què la geodèsica creua l'equador en direcció nord, s'utilitza com a origen per a , i . miniatura|Fig. 6. Element diferencial d'una geodèsica sobre una esfera. Si el costat s'estén movent infinitesimalment (vegeu la figura 6), obtenim

La combinació de les equacions i dóna equacions diferencials per a i

La relació entre i és

que dóna

de manera que les equacions diferencials de la geodèsica esdevenen

L'últim pas és utilitzar com a paràmetre independent en ambdues equacions diferencials i, per tant, expressar i com a integrals. L'aplicació de la regla del sinus als vèrtexs i del triangle esfèric de la figura 5 dóna

on és l'azimut a Si substituïm això a l'equació per i integrem el resultat, obtenim

on

i els límits de la integral es trien de manera que va assenyalar que l'equació per a és la mateixa que l'equació per a l'arc d'una el·lipse amb semieixos expressar l'equació per a en termes de , escrivim

que es desprèn de i de la relació de Clairaut. Això dóna com a resultat

i els límits de les integrals s'escoleixen de manera que al creuament de l'equador, .

Això completa la solució de la trajectòria d'una geodèsica utilitzant l'esfera auxiliar. Mitjançant aquest dispositiu, un cercle màxim es pot assignar exactament a una geodèsica sobre un el·lipsoide de revolució.

També hi ha diverses maneres d'aproximar geodèsiques en un el·lipsoide terrestre (amb un petit aplanament) ; algunes d'aquestes es descriuen a l'article sobre la distància geogràfica. Tanmateix, aquestes solen ser comparables en complexitat al mètode per a la solució exacta .

Comportament de les geodèsiques miniatura|Fig. 7. Els meridians i l'equador són les úniques geodèsiques tancades. (Per als el·lipsoides molt aplanats, hi ha altres geodèsiques tancades; vegeu les figures 11 i 12). La figura 7 mostra les geodèsiques tancades simples que consisteixen en els meridians (verd) i l'equador (vermell). (Aquí, la qualificació "simple" significa que la geodèsica es tanca sobre si mateixa sense una intersecció intermèdia.) Això es desprèn de les equacions de les geodèsiques donades a la secció anterior.

Totes les altres geodèsiques es tipifiquen a les figures 8 i 9, que mostren una geodèsica que comença a l'equador amb . La geodèsica oscil·la al voltant de l'equador. Els encreuaments equatorials s'anomenen nodes i els punts de latitud màxima o mínima s'anomenen vèrtexs ; les latituds paramètriques dels vèrtexs vénen donades per . miniatura|Fig. 10. Geodèsica en un el·lipsoide prolat (

Propietats diferencials de les geodèsiques Diversos problemes relacionats amb geodèsiques requereixen conèixer el seu comportament quan són pertorbades. Això és útil en ajustos trigonomètrics , determinant les propietats físiques dels senyals que segueixen geodèsiques, etc. Considereu una geodèsica de referència, parametritzada per , i una segona geodèsica a una petita distància d'ella. va demostrar que obeeix l'equació de Gauss-Jacobi.

miniatura|Fig. 14. Definició de longitud reduïda i escala geodèsica. on és la curvatura gaussiana en . Com a equació diferencial lineal homogènia de segon ordre, la seva solució es pot expressar com la suma de dues solucions independents

on

La quantitat és l'anomenada longitud reduïda, i és l'escala geodèsica. Les seves definicions bàsiques s'il·lustren a la figura 1.14.

La curvatura gaussiana per a un el·lipsoide de revolució és

solved the Gauss-Jacobi equation for this case enabling and to be expressed as integrals.

Aplicacions Els problemes geodèsics directes i inversos ja no tenen el paper central en la geodèsia que abans tenien. En lloc de resoldre l'ajust de xarxes geodèsiques com un problema bidimensional en trigonometria esferoïdal, aquests problemes ara es resolen mitjançant mètodes tridimensionals . No obstant això, les geodèsiques terrestres encara tenen un paper important en diverses àrees:

per mesurar distàncies i àrees en sistemes d'informació geogràfica; la definició de les fronteres marítimes ; en les normes de l'Administració Federal d'Aviació per a la navegació d'àrea ; el mètode de mesura de distàncies del Codi Esportiu de la FAI . ajudar els musulmans a trobar la seva direcció cap a la Meca

Pel principi de mínima acció, molts problemes en física es poden formular com un problema variacional similar al de les geodèsiques. De fet, el problema geodèsic és equivalent al moviment d'una partícula obligada a moure's sobre la superfície, però que per altra banda no està subjecta a cap força . Per aquesta raó, les geodèsiques sobre superfícies simples com ara el·lipsoides de revolució o el·lipsoides triaxials s'utilitzen freqüentment com a "casos de prova" per explorar nous mètodes. Alguns exemples inclouen:

el desenvolupament de la geometria diferencial ; mètodes per resoldre sistemes d'equacions diferencials per un canvi de variables independents ; l'estudi dels càustics ; investigacions sobre el nombre i l'estabilitat de les òrbites periòdiques ;