Les derivades d'escalars, vectors i tensors de segon ordre respecte als tensors de segon ordre són de considerable utilitat en la mecànica del continu. Aquestes derivades s'utilitzen en les teories d'elasticitat i plasticitat no lineals, particularment en el disseny d'algorismes per a simulacions numèriques.
La derivada direccional proporciona una manera sistemàtica de trobar aquestes derivades.
Derivades respecte a vectors i tensors de segon ordre A continuació es donen les definicions de derivades direccionals per a diverses situacions. Se suposa que les funcions són prou suaus com per poder prendre derivades.
Derivades de funcions vectorials amb valors escalars
Sigui f(v) una funció real del vector v. Aleshores, la derivada de f(v) respecte a v(o a v) és el vector definit a través del seu producte escalar amb qualsevol vector u que sigui
per a tots els vectors u. El producte escalar anterior dóna un escalar, i si u és un vector unitari dóna la derivada direccional de f en v, en la direcció u.
Propietats:
llavors Si llavors Si llavors
Derivades de funcions vectorials de vectors Sigui f (v) una funció vectorial del vector v. Aleshores, la derivada de f (v) respecte a v (o a v) és el tensor de segon ordre definit a través del seu producte escalar amb qualsevol vector u que sigui
per a tots els vectors u. El producte escalar anterior dóna un vector, i si u és un vector unitari dóna la derivada directorial de f en v, en la direccional u.
Propietats:
llavors Si llavors Si llavors
Derivades de funcions escalars de tensors de segon ordre Deixa sigui una funció real amb valor del tensor de segon ordre . Aleshores, la derivada de respecte a (o a ) en la direcció és el tensor de segon ordre definit com per a tots els tensors de segon ordre .
Propietats:
llavors Si llavors Si llavors
Derivades de funcions tensorials de tensors de segon ordre Deixa sigui una funció tensorial de segon ordre del tensor de segon ordre . Aleshores, la derivada de respecte a (o a ) en la direcció és el tensor de quart ordre definit com per a tots els tensors de segon ordre .
Propietats:
Si llavors Si llavors Si llavors Si llavors
Gradient d'un camp tensorial El gradient, , d'un camp tensorial en la direcció d'un vector constant arbitrari c es defineix com: El gradient d'un camp tensorial d'ordre n és un camp tensorial d'ordre n +1.
Coordenades cartesianes Si són els vectors base en un sistema de coordenades cartesianes, amb les coordenades dels punts denotades per (), aleshores el gradient del camp tensorial ve donat per
Com que els vectors base no varien en un sistema de coordenades cartesianes, tenim les relacions següents per als gradients d'un camp escalar , un camp vectorial v i un camp tensorial de segon ordre .
Coordenades curvilínies Si són els vectors de base contravariants en un sistema de coordenades curvilínies, amb les coordenades dels punts denotades per ( ), aleshores el gradient del camp tensorial ve donat per A partir d'aquesta definició tenim les següents relacions per als gradients d'un camp escalar , un camp vectorial v i un camp tensorial de segon ordre . on el símbol de Christoffel es defineix mitjançant
Divergència d'un camp tensorial La divergència d'un camp tensorial es defineix mitjançant la relació recursiva
on c és un vector constant arbitrari i v és un camp vectorial. Si és un camp tensorial d'ordre n > 1, aleshores la divergència del camp és un tensor d'ordre n − 1.
Coordenades cartesianes En un sistema de coordenades cartesianes tenim les relacions següents per a un camp vectorial v i un camp tensorial de segon ordre .
on la notació d'índex tensorial per a les derivades parcials s'utilitza a les expressions més a la dreta. Tingueu en compte que
Per a un tensor simètric de segon ordre, la divergència també s'escriu sovint com a
L'expressió anterior s'utilitza de vegades com a definició de en forma de components cartesians (sovint també escrit com a ). Cal tenir en compte que aquesta definició no és coherent amb la resta d'aquest article (vegeu la secció sobre coordenades curvilínies).
La diferència rau en si la diferenciació es realitza respecte a les files o columnes de , i és convencional. Això es demostra amb un exemple. En un sistema de coordenades cartesianes, el tensor (matriu) de segon ordre és el gradient d'una funció vectorial .
L'última equació és equivalent a la definició/interpretació alternativa
Rotacional d'un camp tensorial El rotacional d'un camp tensorial d'ordre n > 1 també es defineix mitjançant la relació recursiva on c és un vector constant arbitrari i v és un camp vectorial.
Rondall d'un camp tensorial (vectorial) de primer ordre Considereu un camp vectorial v i un vector constant arbitrari c. En notació d'índex, el producte vectorial ve donat per on és el símbol de permutació, també conegut com a símbol de Levi-Civita. Aleshores, Per tant,
Rotacional d'un camp tensorial de segon ordre Per a un tensor de segon ordre Per tant, utilitzant la definició del rotllo d'un camp tensorial de primer ordre, Per tant, tenim
Identitats que impliquen el rotllo d'un camp tensorial La identitat més utilitzada que implica el rotllo d'un camp tensorial, , és Aquesta identitat es compleix per a camps tensorials de tots els ordres. Per al cas important d'un tensor de segon ordre, , aquesta identitat implica que
Derivada del determinant d'un tensor de segon ordre La derivada del determinant d'un tensor de segon ordre ve donat per En una base ortonormal, els components de es pot escriure com una matriu A. En aquest cas, el costat dret correspon als cofactors de la matriu.
Derivades dels invariants d'un tensor de segon ordre Els principals invariants d'un tensor de segon ordre són
Les derivades d'aquests tres invariants respecte a són
Derivada del tensor identitat de segon ordre Sigui el tensor identitat de segon ordre. Aleshores, la derivada d'aquest tensor respecte a un tensor de segon ordre ve donat per
Això és perquè és independent de .
Derivada d'un tensor de segon ordre respecte a si mateix Sigui un tensor de segon ordre. Aleshores
Per tant,
Aquí és el tensor identitat de quart ordre. En la notació d'índex respecte a una base ortonormal
Aquest resultat implica que
on
Per tant, si el tensor és simètrica, aleshores la derivada també és simètrica i obtenim on el tensor d'identitat simètric de quart ordre és
Derivada de la inversa d'un tensor de segon ordre Siguin i dos tensors de segon ordre, aleshores En la notació d'índex respecte a una base ortonormal També tenim En notació d'índex Si el tensor és simètric, aleshores
Integració per parts miniatura|400x400px|Domini , el seu límit i la normal unitària exterior Una altra operació important relacionada amb les derivades tensorials en la mecànica del continu és la integració per parts. La fórmula per a la integració per parts es pot escriure com
on i són camps tensorials diferenciables d'ordre arbitrari, és la normal unitària cap a l'exterior del domini sobre el qual es defineixen els camps tensorials, representa un operador de producte tensorial generalitzat, i és un operador de gradient generalitzat. Quan és igual al tensor d'identitat, obtenim el teorema de la divergència Podem expressar la fórmula d'integració per parts en notació d'índex cartesiana com a
Per al cas especial on l'operació producte tensorial és una contracció d'un índex i l'operació gradient és una divergència, i ambdues i són tensors de segon ordre, tenim
En notació d'índex,
Referències
Categoria:Ciència de materials