En mecànica del continu, un sòlid de Mooney-RivlinMooney, M., 1940, A theory of large elastic deformation, Journal of Applied Physics, 11(9), p. 582–592.Rivlin, R. S., 1948, Large elastic deformations of isotropic materials. IV. Further developments of the general theory, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 241(835), p. 379–397. és un model de material hiperelàstic on la funció de densitat d'energia de deformació és una combinació lineal de dos invariants del tensor de deformació de Cauchy-Green a l'esquerra El model va ser proposat per Melvin Mooney el 1940 i expressat en termes d'invariants per Ronald Rivlin el 1948.
La funció de densitat d'energia de deformació per a un material incompressible de Mooney-Rivlin ésBoulanger, P. and Hayes, M. A., 2001, "Finite amplitude waves in Mooney–Rivlin and Hadamard materials", in Topics in Finite Elasticity, ed. M. A Hayes and G. Soccomandi, International Center for Mechanical Sciences.C. W. Macosko, 1994, Rheology: principles, measurement and applications, VCH Publishers, .
on i són constants materials determinades empíricament, i i són el primer i el segon invariant de (el component unimodular de Unimodularity in this context means .):
on és el gradient de deformació i Per a un material incompressible, .
Derivació El model Mooney-Rivlin és un cas especial del model Rivlin generalitzat (també anomenat model hiperelàstic polinòmic) que té la forma
amb on són constants materials relacionades amb la resposta distorsional i són constants de material relacionades amb la resposta volumètrica. Per a un material compressible de Mooney-Rivlin i tenim
Si obtenim un sòlid neo-hookeà, un cas especial d'un sòlid de Mooney-Rivlin.
Per a la coherència amb l'elasticitat lineal en el límit de petites deformacions, és necessari que
on és el mòdul de volum i és el mòdul de cisallament.
Tensió de Cauchy en termes d'invariants de deformació i tensors de deformació La tensió de Cauchy en un material hiperelàstic compressible amb una configuració de referència lliure de tensió ve donada per
Per a un material compressible de Mooney-Rivlin,
Per tant, la tensió de Cauchy en un material compressible de Mooney-Rivlin ve donada per
Es pot demostrar, després d'una mica d'àlgebra, que la pressió ve donada per
L'estrès es pot expressar llavors en la forma
L'equació anterior sovint s'escriu utilitzant el tensor unimodular :
Per a un material incompressible de Mooney-Rivlin amb hi ha i Així
Des de el teorema de Cayley-Hamilton implica
Per tant, la tensió de Cauchy es pot expressar com
on
Tensió de Cauchy en termes d'estiraments principals En termes dels estiraments principals, les diferències de tensions de Cauchy per a un material hiperelàstic incompressible es donen per
Per a un material incompressible de Mooney-Rivlin,
Per tant,
Des de podem escriure
Aleshores, les expressions per a les diferències de tensions de Cauchy esdevenen
Extensió uniaxial Per al cas d'un material incompressible de Mooney-Rivlin sota elongació uniaxial, i Aleshores, les diferències de tensió reals (tensió de Cauchy) es poden calcular com:
Tensió simple miniatura|380x380px|Comparació dels resultats experimentals (punts) i les prediccions per a la llei de Hooke (1, línia blava), el sòlid neo-hookeà (2, línia vermella) i els models sòlids de Mooney-Rivlin (3, línia verda) En el cas de tensió simple, Aleshores podem escriure
En notació alternativa, on la tensió de Cauchy s'escriu com i l'estirament com a , podem escriure
i la tensió d'enginyeria (força per unitat d'àrea de referència) per a un material Mooney-Rivlin incompressible sota tensió simple es pot calcular utilitzant
Per tant
Si definim
llavors
El pendent de la contra la línia dóna el valor de mentre la intercepció amb el l'eix dóna el valor de El model sòlid de Mooney-Rivlin normalment s'ajusta millor a les dades experimentals que el sòlid neohookean, però requereix una constant empírica addicional.
Tensió equibiaxial En el cas de la tensió equibiaxial, els estiraments principals són Si, a més, el material és incompressible, aleshores . Per tant, les diferències de tensió de Cauchy es poden expressar com
Les equacions per a la tensió equibiaxial són equivalents a les que governen la compressió uniaxial.
Cisallament pur Es pot aconseguir una deformació de cisallament pur aplicant trams de la formaOgden, R. W., 1984, Nonlinear elastic deformations, Dover
Per tant, les diferències de tensions de Cauchy per a un cisallament pur es poden expressar com
Per tant
Per a una deformació de cisallament pur
Per tant .
Cisallament simple El gradient de deformació per a una deformació de cisallament simple té la formaOgden, R. W., 1984, Nonlinear elastic deformations, Dover
on són vectors de base ortonormals de referència en el pla de deformació i la deformació per cisallament ve donada per
En forma matricial, el gradient de deformació i el tensor de deformació de Cauchy-Green esquerre es poden expressar com
Per tant,
La tensió de Cauchy ve donada per
Per coherència amb l'elasticitat lineal, clarament on és el mòdul de cisallament.
Goma La resposta elàstica dels materials semblants al cautxú sovint es modela basant-se en el model de Mooney-Rivlin. Les constants es determinen ajustant la tensió prevista de les equacions anteriors a les dades experimentals. Les proves recomanades són tensió uniaxial, compressió equibiaxial, tensió equibiaxial, compressió uniaxial, i per al cisallament, tensió plana i compressió plana. El model de dos paràmetres de Mooney-Rivlin sol ser vàlid per a deformacions inferiors al 100%.
Referències
Categoria:Ciència de materials