L'optimització multiobjectiu o optimització de Pareto (també coneguda com a programació multiobjectiu, optimització vectorial, optimització multicriteri o optimització multiatribut) és una àrea de la presa de decisions de múltiples criteris que s'ocupa de problemes d'optimització matemàtica que impliquen més d'una funció objectiu que s'ha d'optimitzar simultàniament. L'optimització multiobjectiu és un tipus d'optimització vectorial que s'ha aplicat en molts camps de la ciència, com ara l'enginyeria, l'economia i la logística, on cal prendre decisions òptimes en presència de compromisos entre dos o més objectius en conflicte. Minimitzar el cost alhora que es maximitza la comoditat en comprar un cotxe, i maximitzar el rendiment alhora que es minimitza el consum de combustible i l'emissió de contaminants d'un vehicle són exemples de problemes d'optimització multiobjectiu que impliquen dos i tres objectius, respectivament. En problemes pràctics, hi pot haver més de tres objectius.
Per a un problema d'optimització multiobjectiu, no es garanteix que una sola solució optimitzi simultàniament cada objectiu. Es diu que les funcions objectiu són contradictòries. Una solució s'anomena no dominada, òptima de Pareto, eficient de Pareto o no inferior si cap de les funcions objectiu es pot millorar en valor sense degradar alguns dels altres valors objectius. Sense informació addicional de preferències subjectives, pot existir un nombre (possiblement infinit) de solucions òptimes de Pareto, totes les quals es consideren igualment bones. Els investigadors estudien els problemes d'optimització multiobjectiu des de diferents punts de vista i, per tant, existeixen diferents filosofies i objectius de solució a l'hora d'establir-los i resoldre'ls. L'objectiu pot ser trobar un conjunt representatiu de solucions òptimes de Pareto i/o quantificar els compromisos per satisfer els diferents objectius i/o trobar una única solució que satisfaci les preferències subjectives d'un responsable de la presa de decisions (DM).
L'optimització bicriterial denota el cas especial en què hi ha dues funcions objectives.
Hi ha una relació directa entre l'optimització multitasca i l'optimització multiobjectiu.J. -Y. Li, Z. -H. Zhan, Y. Li and J. Zhang, "Multiple Tasks for Multiple Objectives: A New Multiobjective Optimization Method via Multitask Optimization," in IEEE Transactions on Evolutionary Computation,
Introducció Un problema d'optimització multiobjectiu és un problema d'optimització que implica múltiples funcions objectives. En termes matemàtics, un problema d'optimització multiobjectiu es pot formular com
on l'enter és el nombre d'objectius i el conjunt és el conjunt factible de vectors de decisió, que normalment és però depèn de la domini d'aplicació de dimensió quadrada. El conjunt factible es defineix normalment per algunes funcions de restricció. A més, la funció objectiu amb valors vectorials sovint es defineix com
miniatura|300x300px|Exemple d'una frontera de Pareto (en vermell), el conjunt de solucions òptimes de Pareto (aquelles que no estan dominades per cap altra solució factible). Els punts enquadrats representen opcions factibles, i els valors més petits són preferibles als més grans. El punt C no es troba a la frontera de Pareto perquè està dominat tant pel punt A com pel punt B. Els punts A i B no estan estrictament dominats per cap altre, i per tant es troben a la frontera. Si s'ha de maximitzar alguna funció objectiu, és equivalent a minimitzar el seu negatiu o la seva inversa. Denotem la imatge de ; una solució o decisió factible; i
un vector objectiu o un resultat.
En l'optimització multiobjectiu, no sol existir una solució factible que minimitzi totes les funcions objectiu simultàniament. Per tant, es presta atenció a les solucions òptimes de Pareto; és a dir, solucions que no es poden millorar en cap dels objectius sense degradar almenys un dels altres objectius. En termes matemàtics, una solució factible es diu que (Pareto) domina una altra solució
, si
, and .
Una solució (i el resultat corresponent ) s'anomena òptim de Pareto si no existeix una altra solució que el domini. El conjunt de resultats òptims de Pareto, denotat com , sovint s'anomena front de Pareto, frontera de Pareto o límit de Pareto.
El front de Pareto d'un problema d'optimització multiobjectiu està delimitat per un vector objectiu nadir. i un vector objectiu ideal , si aquests són finits. El vector objectiu nadir es defineix com
i el vector objectiu ideal com a
En altres paraules, els components dels vectors objectius nadir i ideal defineixen els límits superior i inferior de la funció objectiu de les solucions òptimes de Pareto. A la pràctica, el vector objectiu nadir només es pot aproximar, ja que, normalment, es desconeix tot el conjunt òptim de Pareto. A més, un vector objectiu utòpic , de manera que on és una constant petita, sovint es defineix per raons numèriques.
Exemples d'aplicacions Economia En economia, molts problemes impliquen múltiples objectius juntament amb restriccions sobre quines combinacions d'aquests objectius són assolibles. Per exemple, la demanda del consumidor de diversos béns està determinada pel procés de maximització de les utilitats derivades d'aquests béns, subjecta a una restricció basada en la quantitat d'ingressos que hi ha disponibles per gastar en aquests béns i en els preus d'aquests béns. Aquesta restricció permet comprar més d'un bé només amb el sacrifici de consumir menys d'un altre bé; per tant, els diversos objectius (es prefereix un major consum de cada bé) estan en conflicte entre si. Un mètode comú per analitzar aquest problema és utilitzar un gràfic de corbes d'indiferència, que representen les preferències, i una restricció pressupostària, que representa les compensacions a què s'enfronta el consumidor.
Un altre exemple és la frontera de possibilitats de producció, que especifica quines combinacions de diversos tipus de béns pot produir una societat amb certes quantitats de diversos recursos. La frontera especifica els compromisos als quals s'enfronta la societat: si la societat utilitza plenament els seus recursos, només es pot produir més d'un bé a costa de produir menys d'un altre bé. Aleshores, una societat ha d'utilitzar algun procés per triar entre les possibilitats de la frontera.
La formulació de polítiques macroeconòmiques és un context que requereix una optimització multiobjectiu. Normalment, un banc central ha de triar una postura per a la política monetària que equilibri objectius contraposats: baixa inflació, baixa desocupació, baix dèficit de la balança comercial, etc. Per fer-ho, el banc central utilitza un model de l'economia que descriu quantitativament els diversos vincles causals de l'economia; simula el model repetidament sota diverses possibles posicions de política monetària, per tal d'obtenir un menú de possibles resultats previstos per a les diverses variables d'interès. Aleshores, en principi, pot utilitzar una funció objectiva agregada per qualificar els conjunts alternatius de resultats previstos, tot i que a la pràctica els bancs centrals utilitzen un procés no quantitatiu, basat en judicis, per classificar les alternatives i prendre la decisió política.
Finances En finances, un problema comú és triar una cartera quan hi ha dos objectius contradictoris: el desig que el valor esperat dels rendiments de la cartera sigui el més alt possible i el desig que el risc, sovint mesurat per la desviació estàndard dels rendiments de la cartera, sigui el més baix possible. Aquest problema sovint es representa mitjançant un gràfic en què la frontera eficient mostra les millors combinacions de risc i rendiment esperat disponibles, i en què les corbes d'indiferència mostren les preferències de l'inversor per a diverses combinacions de risc i rendiment esperat. El problema d'optimitzar una funció del valor esperat (primer moment) i la desviació estàndard (arrel quadrada del segon moment central) del rendiment de la cartera s'anomena model de decisió de dos moments.
Control òptim En enginyeria i economia, molts problemes impliquen múltiples objectius que no es poden descriure com a "com més, millor" o "com menys, millor"; en canvi, hi ha un valor objectiu ideal per a cada objectiu, i el desig és apropar-se el màxim possible al valor desitjat de cada objectiu. Per exemple, els sistemes energètics solen tenir un compromís entre rendiment i cost o es podria voler ajustar el consum de combustible i l'orientació d'un coet perquè arribi tant a un lloc especificat com en un moment especificat; o es podria voler dur a terme operacions de mercat obert perquè tant la taxa d'inflació com la taxa d'atur s'acostin el màxim possible als seus valors desitjats.
Sovint aquests problemes estan subjectes a restriccions d'igualtat lineal que impedeixen que tots els objectius es compleixin simultàniament i perfectament, especialment quan el nombre de variables controlables és inferior al nombre d'objectius i quan la presència de xocs aleatoris genera incertesa. Normalment s'utilitza una funció objectiu quadràtica multiobjectiu, amb el cost associat a un objectiu que augmenta quadràticament amb la distància de l'objectiu del seu valor ideal. Com que aquests problemes solen implicar ajustar les variables controlades en diversos moments del temps i/o avaluar els objectius en diversos moments del temps, s'utilitzen tècniques d'optimització intertemporal.
Disseny òptim El disseny de productes i processos es pot millorar en gran manera mitjançant tècniques modernes de modelització, simulació i optimització. La qüestió clau en el disseny òptim és mesurar què és bo o desitjable d'un disseny. Abans de buscar dissenys òptims, és important identificar les característiques que més contribueixen al valor global del disseny. Un bon disseny normalment implica múltiples criteris/objectius com ara cost de capital/inversió, cost operatiu, benefici, qualitat i/o recuperació del producte, eficiència, seguretat del procés, temps d'operació, etc. Per tant, en aplicacions pràctiques, el rendiment del disseny de processos i productes sovint es mesura respecte a múltiples objectius. Aquests objectius solen ser contradictoris, és a dir, aconseguir el valor òptim per a un objectiu requereix algun compromís en un o més objectius.
Per exemple, en dissenyar una fàbrica de paper, es pot intentar disminuir la quantitat de capital invertit en una fàbrica de paper i millorar la qualitat del paper simultàniament. Si el disseny d'una fàbrica de paper es defineix per grans volums d'emmagatzematge i la qualitat del paper es defineix per paràmetres de qualitat, aleshores el problema del disseny òptim d'una fàbrica de paper pot incloure objectius com ara i) minimitzar la variació esperada d'aquests paràmetres de qualitat respecte als seus valors nominals, ii) minimitzar el temps previst de pauses i iii) minimitzar el cost d'inversió dels volums d'emmagatzematge. Aquí, el volum màxim de torres és una variable de disseny. Aquest exemple de disseny òptim d'una fàbrica de paper és una simplificació del model utilitzat a. L'optimització del disseny multiobjectiu també s'ha implementat en sistemes d'enginyeria en circumstàncies com ara l'optimització del disseny del gabinet de control, l'optimització de la forma del perfil aerodinàmic mitjançant fluxos de treball científics, el disseny de nano- CMOS, el disseny de sistemes en xip, el disseny de sistemes de reg amb energia solar, l'optimització de sistemes de motlles de sorra, el disseny de motors, el desplegament òptim de sensors i el disseny òptim de controladors.
Optimització de processos