En teoria de la decisió, economia i teoria de la probabilitat, els arguments del llibre holandès són un conjunt de resultats que mostren que els agents han de satisfer els axiomes de l'elecció racional per evitar una mena d' autocontradicció anomenada llibre holandès. Un llibre holandès, de vegades també anomenat bomba de diners, és un conjunt d'apostes que garanteix una pèrdua garantida, és a dir, el jugador perdrà diners passi el que passi. Un conjunt d'apostes s'anomena coherent si no pot donar lloc a un llibre holandès.
Els arguments del llibre holandès s'utilitzen per explorar els graus de certesa en les creences i demostrar que els establir apostes racionals han de ser bayesians; en altres paraules, un establir apostes racional ha d'assignar probabilitats d'esdeveniments que es comportin d'acord amb els axiomes de probabilitat i han de tenir preferències que es puguin modelar mitjançant els axiomes de von Neumann-Morgenstern.
En economia, s'utilitzen per modelar el comportament descartant situacions en què els agents "cremen diners" sense cap recompensa real. Els models basats en la suposició que els actors són racionals s'anomenen models d'elecció racional. Aquesta suposició es debilita en els models conductuals de presa de decisions.
L'experiment mental va ser proposat per primera vegada pel probabilista italià Bruno de Finetti i el polimatemàtic anglès Frank P. Ramsey, aparentment de manera independent, per tal de justificar la probabilitat bayesiana. Va ser explorat més a fons per Leonard Savage, que el va desenvolupar en un model complet d'elecció racional.
Probabilitats subjectives operatives com a probabilitats d'aposta Suposem que tenim dos jugadors, A i B. El jugador A ha de fixar el preu d'una promesa de pagar 1 dòlar si John Smith guanya les eleccions de demà. El jugador B podrà triar entre comprar la promesa d'A al preu que A ha fixat o exigir a A que compri la promesa, encara al mateix preu. En altres paraules: el jugador A fixa les probabilitats, però el jugador B decideix quin costat de l'aposta prendre. El preu que A fixa s'anomena "probabilitat subjectiva operacional".
Si el jugador A decideix que John Smith té un 12,5% de probabilitats de guanyar, podria establir una probabilitat en contra de 7:1. Aquesta valoració arbitrària —la "probabilitat subjectiva operativa"— determina el pagament d'una aposta reeixida. 1$ apostat amb aquestes probabilitats produirà una pèrdua d'1$ (si Smith perd) o un guany de 7$ (si Smith guanya). En aquest exemple, 1$ també es retornarà a l'apostador en cas d'èxit.
Els arguments L'argument estàndard dels llibres neerlandesos conclou que els agents racionals han de tenir probabilitats subjectives per a esdeveniments aleatoris, i que aquestes probabilitats han de satisfer els axiomes estàndard de probabilitat. En altres paraules, qualsevol persona racional ha d'estar disposada a assignar una probabilitat bayesiana (quantitativa) a diferents esdeveniments.
Cal tenir en compte que l'argument no implica que els agents estiguin disposats a participar en jocs d'atzar en el sentit tradicional. La paraula "aposta", tal com s'utilitza aquí, es refereix a qualsevol tipus de decisió sota incertesa. Per exemple, comprar un bé desconegut en un supermercat és una mena d'"aposta" (el comprador "aposta" que el producte és bo), igual que pujar a un cotxe ("apostar" que el conductor no estarà involucrat en un accident).
Establir la disposició a apostar L'argument del llibre holandès es pot revertir considerant la perspectiva de la casa d'apostes. En aquest cas, els arguments del llibre holandès mostren que qualsevol agent racional ha d'estar disposat a acceptar alguns tipus de riscos, és a dir, a fer apostes incertes, o si no, de vegades rebutjarà "regals" o "llibres txecs", una sèrie d'apostes que els deixen en una millor situació amb un 100% de certesa.
Unitaritat En un exemple, una casa d'apostes ha ofert les següents probabilitats i ha atret una aposta per cada cavall, les mides relatives del qual fan que el resultat sigui irrellevant. Les probabilitats implícites, és a dir, la probabilitat que cada cavall guanyi, sumen un nombre superior a 1, violant l'axioma d'unitarietat: Número de cavallProbabilitats ofertesProbabilitat implícitaPreu de l'apostaLa casa d'apostes paga si guanya un cavall1Fins i tot100 dòlarsAposta de 100$ + 100$23 a 1 en contra50 dòlarsAposta de 50$ + 150$34 a 1 en contra40 dòlarsAposta de 40$ + 160$49 a 1 en contra20 dòlarsAposta de 20$ + 180$Total: 1,05Total: 210$Sempre: 200 dòlars Sigui quin sigui el cavall que guanyi en aquest exemple, la casa d'apostes pagarà 200$ (inclosa la devolució de l'aposta guanyadora), però l'apostador ha apostat 210$, per la qual cosa ha perdut 10$ a la cursa.
Tanmateix, si el cavall 4 es retirés i la casa d'apostes no ajusta les altres probabilitats, les probabilitats implícites sumarien 0,95. En aquest cas, un jugador sempre podria obtenir un benefici de 10$ apostant 100$, 50$ i 40$ als tres cavalls restants, respectivament, i no haver d'apostar 20$ al cavall retirat, que ara no pot guanyar.
Altres axiomes Altres formes de llibres neerlandesos es poden utilitzar per establir els altres axiomes de probabilitat, de vegades implicant apostes més complexes com la predicció de l'ordre en què acabaran els cavalls. En probabilitat bayesiana, Frank P. Ramsey i Bruno de Finetti van exigir que els graus de creença personals fossin coherents perquè no es pogués fer un llibre neerlandès en contra seva, independentment de com es fessin les apostes. Les condicions necessàries i suficients per a això són que els seus graus de creença satisfacin tots els axiomes de probabilitat.
Llibres neerlandesos Es diu que una persona que ha fixat preus en una sèrie d'apostes de manera que obtindrà un guany net independentment del resultat ha fet un llibre holandès. Quan algú té un llibre holandès, el seu oponent sempre perd. Una persona que fixa preus de manera que li doni al seu oponent un llibre holandès no es comporta de manera racional.
Un llibre holandès molt trivial Les regles no prohibeixen un preu fix superior a 1 dòlar, però un oponent prudent pot vendre un bitllet car, de manera que l'oponent surti guanyant independentment del resultat de l'esdeveniment en què es fa l'aposta. Les regles tampoc prohibeixen un preu negatiu, però un oponent pot obtenir una promesa pagada de l'apostador per pagar-li més tard si sorgeix una determinada contingència. En qualsevol cas, qui fixa el preu perd. Aquestes situacions de pèrdua-pèrdua són paral·leles al fet que una probabilitat no pot superar ni 1 (certesa) ni ser inferior a 0 (cap possibilitat de guanyar).
Un llibre holandès més instructiu Ara suposem que s'estableix el preu d'una promesa de pagar 1 dòlar si els Boston Red Sox guanyen les Sèries Mundials de l'any que ve, i també el preu d'una promesa de pagar 1 dòlar si guanyen els New York Yankees, i finalment el preu d'una promesa de pagar 1 dòlar si guanyen els Red Sox o els Yankees. Es poden establir els preus de manera que
Però si s'estableix el preu del tercer bitllet per sota de la suma dels dos primers, un oponent prudent comprarà aquest bitllet i vendrà els altres dos a l'equip que ha fixat el preu. Si es consideren els tres resultats possibles (Red Sox, Yankees, algun altre equip), es notarà que, independentment de quin dels tres resultats es produeixi, es perdrà. Un destí anàleg espera si s'estableix el preu del tercer bitllet per sobre de la suma dels altres dos preus. Això és paral·lel al fet que les probabilitats d'esdeveniments mútuament excloents són additives (vegeu axiomes de probabilitat).
Apostes condicionals i probabilitats condicionals Ara imagineu un escenari més complicat. Cal fixar els preus de tres promeses:
pagar 1 dòlar si els Red Sox guanyen el partit de demà: el comprador d'aquesta promesa perd la seva aposta si els Red Sox no guanyen, independentment de si el seu fracàs es deu a la pèrdua d'un partit completat o a la cancel·lació del partit, i pagar 1 dòlar si guanyen els Red Sox i retornar el preu de la promesa si el partit es cancel·la, i pagar 1 dòlar si es completa el joc, independentment de qui guanyi.
Hi ha tres resultats possibles: el partit es cancel·la; el partit es juga i els Red Sox perden; el partit es juga i els Red Sox guanyen. Es poden fixar els preus de manera que
(on el segon preu anterior és el de l'aposta que inclou el reemborsament en cas de cancel·lació). (Nota: Els preus aquí són els nombres adimensionals obtinguts dividint per 1$, que és el pagament en els tres casos.) Un oponent prudent escriu tres desigualtats lineals en tres variables. Les variables són les quantitats que invertiran en cadascuna de les tres promeses; el valor d'una d'aquestes és negatiu si faran que l'entitat que fixa el preu compri aquesta promesa i positiu si la comprarà. Cada desigualtat correspon a un dels tres resultats possibles. Cada desigualtat estableix que el guany net del teu oponent és superior a zero. Existeix una solució si el determinant de la matriu no és zero. Aquest determinant és:
Així, un oponent prudent pot fer que qui fixa els preus sigui un perdedor segur, tret que estableixi els seus preus d'una manera que sigui paral·lela a la caracterització convencional més simple de la probabilitat condicional.
Un altre exemple En el Derby de Kentucky del 2015, el favorit ("American Pharaoh") es va establir a l'ante-post a 5:2, el segon favorit a 3:1 i el tercer favorit a 8:1. Tots els altres cavalls tenien probabilitats en contra de 12:1 o superior. Amb aquestes probabilitats, una aposta de 10 dòlars per cadascun dels 18 participants resultaria en una pèrdua neta si guanyés el favorit o el segon favorit.
Tanmateix, si se suposa que cap cavall amb una cotització de 12:1 o superior guanyarà, i s'aposta 10 dòlars a cadascun dels tres primers, es garanteix com a mínim una petita victòria. El favorit (que sí que va guanyar) donaria com a resultat un pagament de 25 dòlars, més l'aposta retornada de 10 dòlars, donant un saldo final de 35 dòlars (un augment net de 5 dòlars). Una victòria del segon favorit produiria un pagament de 30 dòlars més l'aposta original de 10 dòlars, per a un augment net de 10 dòlars. Una victòria del tercer favorit dóna 80 dòlars més els 10 dòlars originals, per a un augment net de 60 dòlars.
Aquest tipus d'estratègia, pel que fa als tres primers, forma un Llibre Holandès. Tanmateix, si es consideren els divuit aspirants, aleshores no existeix cap Llibre Holandès per a aquesta cursa.
Economia En economia, l'exemple clàssic d'una situació en què un consumidor pot ser "dubtated" és si té preferències intransitives. La teoria econòmica clàssica assumeix que les preferències són transitives: si algú pensa que A és millor que B i B és millor que C, aleshores ha de pensar que A és millor que C. A més, no hi pot haver "cicles" de preferències.