En matemàtiques, i més concretament en Anàlisi matemàtica i Teoria de la probabilitat, una àlgebra de conjunts o una àlgebra de Boole (concreta) és una col·lecció de subconjunts d'un conjunt que és tancada respecte la complementació, la unió i la intersecció de conjunts; això és, si un conjunt pertany a la col·lecció, el seu complementari també, i donats un nombre finit de conjunts de la col·lecció, la seva reunió i intersecció també ho és.
En contrast, una -àlgebra és tancada per complementació, i per reunions i interseccions d'un nombre numerable de conjunts.
Definició i propietats Definició. Sigui un conjunt. Una col·lecció de subconjunts d' es diu que és una àlgebra de conjunts o una àlgebra de Boole (concreta) , o més breument, si és clar pel context, una àlgebra, si compleix
(a) El conjunt buit és un element de la col·lecció:
(b) Es tancada per complementació: si , llavors .
(c) Es tancada per unions: si , llavors .
Observacions
1. Si , llavors . Això es dedueix de les propietats de doble complementació i les lleis de De Morgan. Gràcies a aquest mateix argument, a la propietat (c) es pot canviar «tancada per unions» per «tancada per interseccions».
2. Per inducció i la propietat associativa de la unió i la intersecció de conjunts, si , llavors
3. La propietat (a) es pot canviar o per .
Exemples
1. La família és una àlgebra que s'anomena l'àlgebra trivial.
2. El conjunt de tots els subconjunts de , que designarem per , és una àlgebra que s'anomena l'àlgebra discreta.
3. Donades dues àlgebres i , direm que és més fina que , o que és més gruixuda (en anglès, coarser) que si . En particular, és l'àlgebra més gruixuda i és l'àlgebra més fina.
4. Sigui . La família dels subconjunts de que són finits o que tenen el complementari finit és una àlgebra.
Àlgebra generada per una família de conjunts Intersecció d'àlgebres i àlgebra generada Si i són dues àlgebres, llavors és una àlgebra. Més generalment, la intersecció d'una família qualsevol d'àlgebres és una àlgebra. Aquesta propietat és important perquè permet establir el concepte fonamental d'àlgebra generada per una família de conjunts.
Sigui una família de subconjunts d'. S'anomena àlgebra generada (o engendrada) per , i es designa per , la més petita àlgebra que conté tots els elements de . Aquesta àlgebra es construeix com la intersecció de totes les àlgebres que contenen , i la definició és correcta ja que és una àlgebra que conté .
Àlgebres finites i particions finites Una àlgebra es diu que és finita si té un nombre finit d'elements.
Una família finita de subconjunts d', no buits, disjunts dos a dos, i tals que las seva reunió és es diu que és partició finita d'. Els elements de la partició es diuen els àtoms.
Exemple Sigui un conjunt finit i considerem la partició de en singletons Aleshores l'àlgebra generada per aquesta partició és l'àlgebra discreta:
Nota terminològica. Alguns autors defineixen el terme partició sense demanar que els àtoms siguin no buits i anomenar partició pròpia quan se suposa aquesta condició.
Estructura de les àlgebres finites Lema. Sigui una partició finita de , L'àlgebra engendrada per està formada per les unions dels conjunts de totes les subfamílies de , incloent la reunió de la família buida de conjunts, que definim com a .
Demostració. Sigui la col·lecció de totes les reunions que hem esmentat a l'enunciat. Es demostra que és una àlgebra, i òbviament, ; com que és la menor àlgebra que conté , tenim que . D'altra banda, també és clar que , d'on resulta el lema.
Teorema. Tota àlgebra finita està generada per una partició finita.
Demostració. Sigui una enumeració dels elements d'. Considerem totes les interseccions de la formaon cada és o . Aleshores la la col·lecció d'aquestes interseccions que no siguin buides forma una partició de que genera
Exemples
1. Considerem un conjunt , i . Aleshores 2. Siguin , , , , i . Aleshores on (diferència simètrica). Té 16 elements.
Corol·lari 1. Si és una àlgebra finita, aleshores el nombre d'elements de és una potència de .
Prova. Pel teorema anterior, existeix una partició finita de ,tal que . Però pel lema, està formada per les unions dels elements de les subfamílies de (incloent la subfamília buida). Anem a comptar quantes d'aquestes unions hi ha:
(1) La subfamília buida, que dóna el conjunt buit.
(2) Subfamílies d'un element: , de les quals n'hi ha , i que proporcionen els conjunts .
(3) Subfamílies de dos elements: , de les quals n'hi ha , que donaran els conjunts etc.
I així successivament. El nombre total d'elements de serà
Corol·lari 2. (Tao Una àlgebra finita generada per elements té com a màxim elements, i aquesta fita no pot ser rebaixada.
Prova. Sigui . Segons hem vist a la demostració del teorema d'estructura de les àlgebres finites tindrem queon és la partició formada pels conjunts no buits de la formaon cada és o . Però d'aquestes interseccions n'hi a , i per tant, si traiem els que són buides, tindrem queon indica el cardinal o nombre d'elements d'un conjunt . Però segons hem vist a la demostració del corol·lari anterior, com que és una partició de ,
Aquesta fita no pot ser millorada, és a dir, que per a qualsevol , existeix un conjunt i una família de subconjunts tals queNoteu que el número creix molt ràpidament. Per exemple, per a tenim
Expressió general dels elements d'una àlgebra generada Teorema. (Billingsley ; per a una demostració, vegeu Neveu ). Sigui una col·lecció de subconjunts d'. Aleshores tot element es pot escriure de la formaon per a cada i , o , i els conjunts són disjunts dos a dos.
Descripció iterativa d'una àlgebra generada Teorema. (Tao ). Sigui una col·lecció de subconjunts d'. Construïm recursivament les següents col·leccions de conjunts:
1.
2. Per a , és la col·lecció del conjunts obtinguts com una reunió finita d'elements d' (incloent la reunió buida ) o el complementari d'una d'aquestes reunions.
Aleshores
σ-àlgebres Una àlgebra és tancada per totes les operacions de conjunts realitzades un nombre finit de vegades. Una -àlgebra és tancada per totes les operacions de conjunts realitzades un nombre finit o infinit numerable de vegades. Concretament.
Definició. Sigui un conjunt. Una col·lecció de subconjunts d' es diu que és una -àlgebra si compleix
(a) El conjunt buit és un element de la col·lecció:
(b) Es tancada per complementació: si , llavors .
(c) Es tancada per unions numerables de conjunts: si , llavors
Observacions.
1. El conjunt de les parts de és una -àlgebra. També ho és .
2. Tota -àlgebra és una àlgebra, ja que podem escriure
3. No tota àlgebra és una -àlgebra. A l'exemple 3 d'àlgebra hem vist que si prenem ialeshores és una àlgebra. Però el fet que hi hagi subconjunts de que no són finits ni amb complementari finit fa que no sigui una -àlgebra. Per exemple, si considerem el conjunt dels nombres parells, , aleshores , peròi per a qualsevol .
4. Tota àlgebra finita és una -àlgebra.
-àlgebra generada per una família de conjunts La intersecció d'una família arbitrària de -àlgebres és una -àlgebra, i això fa que es pugui definir la -àlgebra generada per una família de conjunts. Sigui una família de subconjunts d'. Es designa per la menor -àlgebra que conté , i que coincideix amb la intersecció de totes les -àlgebres que contenen .
En general, no hi ha una caracterització de la -àlgebra generada, o una construcció iterativa com les hem vist pel cas de les àlgebres. En general, a la construcció d'una -àlgebra generada, cal utilitzar inducció transfinita, vegeu Tao Billingsley,
Vegeu també Teoria de conjunts Àlgebra de Boole -àlgebra
Notes
Bibliografia
Categoria:Àlgebra