El formalisme de la tètrada és un enfocament de la relativitat general que generalitza l'elecció de la base per al fibrat tangent des d'una base de coordenades fins a l'elecció menys restrictiva d'una base local, és a dir, un conjunt localment definit de quatre camps vectorials linealment independents anomenats tètrada o vierbein. És un cas especial de la idea més general d'un formalisme de Vielbein, que s'estableix en la geometria (pseudo) riemanniana. Aquest article, tal com està escrit actualment, esmenta sovint la relativitat general; tanmateix, gairebé tot el que diu és igualment aplicable a les varietats (pseudo) riemannianes en general, i fins i tot a les varietats d'espín. La majoria de les afirmacions es compleixen substituint arbitràriament per . En alemany, " " es tradueix com a "quatre", " " a "molts", i " " a "cama".
La idea general és escriure el tensor mètric com el producte de dos Vielbeins, un a l'esquerra i un a la dreta. L'efecte dels Vielbeins és canviar el sistema de coordenades utilitzat a la varietat tangent per un que sigui més simple o més adequat per als càlculs. Sovint passa que el sistema de coordenades de Vielbein és ortonormal, ja que generalment és el més fàcil d'utilitzar. La majoria dels tensors es tornen simples o fins i tot trivials en aquest sistema de coordenades; així, la complexitat de la majoria d'expressions es revela com un artefacte de l'elecció de coordenades, més que no pas una propietat innata o un efecte físic. És a dir, com a formalisme, no altera les prediccions; és més aviat una tècnica de càlcul.
L'avantatge del formalisme de la tètrada respecte a l'enfocament estàndard de la relativitat general basat en coordenades rau en la capacitat d'escollir la base de la tètrada per reflectir aspectes físics importants de l'espai-temps. La notació d'índex abstracte denota els tensors com si estiguessin representats pels seus coeficients respecte a una tètrada local fixa. En comparació amb una notació completament lliure de coordenades, que sovint és conceptualment més clara, permet una manera fàcil i computacionalment explícita de denotar contraccions.
La importància del formalisme tetràdic apareix en la formulació d'Einstein-Cartan de la relativitat general. El formalisme tetràdic de la teoria és més fonamental que la seva formulació mètrica, ja que no es pot convertir entre les formulacions tetràdica i mètrica de les accions fermiòniques, tot i que això és possible per a les accions bosòniques. Això és degut, efectivament, al fet que els espinors de Weyl es poden definir de manera molt natural en una varietat riemanniana i el seu entorn natural condueix a la connexió d'espín. Aquests espinors prenen forma en el sistema de coordenades de Vielbein i no en el sistema de coordenades de la varietat.
El formalisme tetràdic privilegiat també apareix en la desconstrucció dimensional de les teories de gravetat de Kaluza-Klein de dimensions superiors i les teories de gravetat massiva, en què la(es) dimensió(ns) extra és/són substituïda(es) per sèries de N llocs de xarxa de manera que la mètrica de dimensions superiors és substituïda per un conjunt de mètriques interactives que depenen només dels components 4D. Els Vielbeins apareixen habitualment en altres contextos generals de física i matemàtiques. Els Vielbeins es poden entendre com a formes de soldadura.
Formulació matemàtica La formulació de la tètrada és un cas especial d'una formulació més general, coneguda com a formulació de vielbein o -bein, amb = 4. Vielbein s'escriu amb "l", no amb "r": en alemany, "viel" significa "molts", que no s'ha de confondre amb "vier", que significa "quatre".
En el formalisme de Vielbein,Tohru Eguchi, Peter B. Gilkey and Andrew J. Hanson, "Gravitation, Gauge Theories and Differential Geometry", Physics Reports 66 (1980) pp 213-393. una cobertura oberta de la varietat espai-temps i es tria una base local per a cadascun d'aquests conjunts oberts: un conjunt de camps vectorials independents
per que junts abasten el fibrat tangent -dimensional en cada punt del conjunt. Dualment, una vielbeïna (o tetrada en 4 dimensions) determina (i és determinada per) una co-vielbeïna dual (co-tetrada): un conjunt de formes 1 independents.
de tal manera que
on és el delta de Kronecker. Un vielbein normalment s'especifica pels seus coeficients respecte a una base de coordenades, malgrat l'elecció d'un conjunt de coordenades (locals) sent innecessari per a l'especificació d'una tètrada. Cada covector és una forma de soldadura.
Des del punt de vista de la geometria diferencial dels feixos de fibres, els camps vectorials definir una secció del feix de marcs, és a dir, una paral·lelització de que és equivalent a un isomorfisme . Com que no totes les varietats són paral·lelitzables, una vielbein generalment només es pot triar localment ( és a dir, només en un diagrama de coordenades). i no tots .)
Tots els tensors de la teoria es poden expressar en la base vectorial i covectorial, expressant-los com a combinacions lineals de membres del (co)vielbein. Per exemple, el tensor mètric de l'espai-temps es pot transformar d'una base de coordenades a la base de la tetràda.
Les bases tetràdiques populars en la relativitat general inclouen tetràdiques ortonormals i tetràdiques nul·les. Les tetràdes nul·les estan compostes de quatre vectors nuls, per la qual cosa s'utilitzen amb freqüència en problemes que tracten la radiació i són la base del formalisme de Newman-Penrose i del formalisme GHP.
Relació amb el formalisme estàndard El formalisme estàndard de la geometria diferencial (i de la relativitat general) consisteix a utilitzar la tètrada de coordenades en el formalisme de la tètrada. La tètrada de coordenades és el conjunt canònic de vectors associats amb el diagrama de coordenades. La tètrada de coordenades es denota habitualment com a mentre que la cotetrada dual es denota . Aquests vectors tangents se solen definir com a operadors derivatius direccionals: donat un gràfic que mapeja un subconjunt de la varietat en un espai de coordenades , i qualsevol camp escalar , els vectors de coordenades són tals que:
La definició de la cotètrada utilitza l'abús habitual de la notació per definir covectors (1-formes) en . La implicació de la tètrada de coordenades no sol fer-se explícita en el formalisme estàndard. En el formalisme de la tetràda, en comptes d'escriure les equacions tensorials completament (incloent-hi els elements de la tetràda i els productes tensorials com a dalt) només s'esmenten els components dels tensors. Per exemple, la mètrica s'escriu com a "". Quan la tètrada no s'especifica, es tracta d'especificar el tipus de tensor, anomenada notació d'índex abstracte. Permet especificar fàcilment la contracció entre tensors repetint índexs com en la convenció de suma d'Einstein.
Canviar les tetràdes és una operació rutinària en el formalisme estàndard, ja que està implicat en cada transformació de coordenades (és a dir, canviar d'una base de tetràdes de coordenades a una altra). Canviar entre múltiples diagrames de coordenades és necessari perquè, excepte en casos trivials, no és possible que un únic diagrama de coordenades cobreixi tota la varietat. Canviar entre tetràdes generals és molt similar i igualment necessari (excepte per a varietats paral·lelitzables). Qualsevol tensor es pot escriure localment en termes d'aquesta tetrada de coordenades o d'una (co)tetrada general.
Per exemple, el tensor mètric es pot expressar com:
(Aquí fem servir la convenció de suma d'Einstein). De la mateixa manera, la mètrica es pot expressar respecte a una (co)tètrada arbitrària com a
Aquí, fem servir l'elecció de l'alfabet (llatí i grec) per a les variables d'índex per distingir la base aplicable.
Podem traduir d'una co-tètrada general a la co-tètrada de coordenades expandint el covector . Aleshores obtenim
del qual es dedueix que . De la mateixa manera, en expansió respecte a la tètrada general, tenim
la qual cosa demostra que .
Manipulació d'índexs La manipulació amb coeficients de tetràda mostra que les fórmules d'índex abstractes es poden obtenir, en principi, a partir de fórmules tensorials respecte a una tetràda de coordenades "substituint els índexs grecs per llatins". Tanmateix, cal tenir cura que una fórmula de tètrada de coordenades defineixi un tensor genuí quan hi ha una diferenciació. Com que els camps vectorials de coordenades tenen un parèntesi de Lie nul·la (és a dir, commuta: ), les substitucions ingenues de fórmules que calculen correctament els coeficients tensorials respecte a una tetràda de coordenades poden no definir correctament un tensor respecte a una tetràda general perquè el parèntesi de Lie no és nul: . Per tant, de vegades es diu que les coordenades tetràdiques proporcionen una base no holonòmica.
Per exemple, el tensor de curvatura de Riemann es defineix per a camps vectorials generals per
En una tetràda de coordenades això dóna coeficients tensorials
La substitució ingènua de "grec a llatí" de la darrera expressió
és incorrecte perquè per a c i d fixos, és, en general, un operador diferencial de primer ordre en lloc d'un operador d'ordre zero que defineix un coeficient tensorial. Substituint una base tetràdica general en la fórmula abstracta trobem la definició adequada de la curvatura en la notació d'índex abstracta, però:
on . Tingueu en compte que l'expressió és, de fet, un operador d'ordre zero, per tant (el component ( c d ) de) un tensor. Com que coincideix amb l'expressió de coordenades de la curvatura quan s'especialitza a una tètrada de coordenades, és clar, fins i tot sense utilitzar la definició abstracta de la curvatura, que defineix el mateix tensor que l'expressió de la base de coordenades.
Exemple: Grups de Lie Donat un vector (o covector) a la varietat tangent (o cotangent), l'aplicació exponencial descriu la geodèsica corresponent d'aquest vector tangent. Escriptura , el transport paral·lel d'un diferencial correspon a
L'anterior es pot verificar fàcilment simplement prenent ser una matriu.
Per al cas especial d'una àlgebra de Lie, la es pot considerar un element de l'àlgebra, l'exponencial és l'aplicació exponencial d'un grup de Lie, i els elements del grup corresponen a les geodèsiques del vector tangent. Triar una base per a l'àlgebra de Lie i l'escriptura per a algunes funcions els commutadors es poden escriure explícitament. Es calcula fàcilment que
per les constants d'estructura de l'àlgebra de Lie. La sèrie es pot escriure de manera més compacta com
amb la sèrie infinita
Aquí, és una matriu els elements de la qual són . La matriu és llavors el vielbein; expressa el diferencial en termes de les "coordenades planes" (ortonormals, per cert) .
Donat algun mapa d'alguna varietat a algun grup de Lie , el tensor mètric de la varietat esdevé la retrocessió del tensor mètric al grup Lie :
El tensor mètric al grup de Lie hi ha la mètrica de Cartan, també coneguda com la forma Killing. Tingueu en compte que, com a matriu, la segona W és la transposada. Per a una varietat (pseudo-)riemanniana, la mètrica és una mètrica (pseudo-)riemanniana. L'anterior es generalitza al cas d'espais simètrics.Nejat Tevfik Yilmaz, (2007) "On the Symmetric Space Sigma-Model Kinematics" arXiv:0707.2150 [hep-th] Aquests vielbeins s'utilitzen per realitzar càlculs en models sigma, dels quals les teories de supergravetat són un cas especial.
Referències
Categoria:Geometria diferencial