En matemàtiques, la integral d'Skorokhod, també anomenada integral d'Hitsuda-Skorokhod, sovint es denota , és un operador de gran importància en la teoria dels processos estocàstics. Rep el nom del matemàtic ucraïnès Anatoliy Skorokhod i del matemàtic japonès Masuyuki Hitsuda. Part de la seva importància rau en el fet que unifica diversos conceptes:
és una extensió de la integral d'Itô als processos no adaptats; és l' adjunt de la derivada de Malliavin, que és fonamental per al càlcul estocàstic de variacions (càlcul de Malliavin); és una generalització de dimensió infinita de l'operador de divergència del càlcul vectorial clàssic.
La integral va ser introduïda per Hitsuda el 1972 i per Skorokhod el 1975.
Definició Preliminars: el derivat de Malliavin Considereu un espai de probabilitat fix i un espai de Hilbert ; denota expectativa respecte a
Intuïtivament parlant, la derivada de Malliavin d'una variable aleatòria en es defineix expandint-lo en termes de variables aleatòries gaussianes que estan parametritzades pels elements de i diferenciant l'expansió formalment; la integral de Skorokhod és l'operació adjunta a la derivada de Malliavin.
Considereu una família de variables aleatòries amb valors únics , indexat pels elements de l'espai de Hilbert . Suposem a més que cada és una variable aleatòria gaussiana (normal), que el mapa pren a és un mapa lineal, i que l'estructura de mitjanes i covariàncies ve donada per
per a tots i en . Es pot demostrar que, donat , sempre existeix un espai de probabilitat i una família de variables aleatòries amb les propietats anteriors. La derivada de Malliavin es defineix essencialment establint formalment la derivada de la variable aleatòria ser , i després estenent aquesta definició a variables aleatòries "prou suaus". Per a una variable aleatòria de la forma
on és suau, la derivada de Malliavin es defineix utilitzant la "definició formal" anterior i la regla de la cadena:
En altres paraules, mentre que era una variable aleatòria amb valors reals, la seva derivada és un variable aleatòria amb valors diferents, un element de l'espai . Naturalment, aquest procediment només defineix per a variables aleatòries "suaus", però es pot emprar un procediment d'aproximació per definir per en un gran subespai de ; el domini de és el tancament de les variables aleatòries suaus en la seminorma:
Aquest espai es denota per i s'anomena espai de Watanabe-Sobolev.
La integral de Skorokhod Per simplificar, considerem ara només el cas . La integral de Skorokhod es defineix com a -adjunt del derivat de Malliavin . Igual que no estava definit en la seva totalitat , no està definit en la seva totalitat : el domini de consisteix en aquells processos en per al qual existeix una constant de manera que, per a tots en ,
La integral de Skorokhod d'un procés en és una variable aleatòria amb valors reals en ; si es troba en el domini de , aleshores es defineix per la relació que, per a tot ,
Igual que el derivat de Malliavin es va definir per primera vegada en variables aleatòries simples i suaus, la integral de Skorokhod té una expressió simple per a "processos simples": si ve donat per
amb suau i en , aleshores
Propietats la propietat d'isometria: per a qualsevol procés en que es troba en el domini de , Si u és un procés adaptat, aleshores for , per tant, el segon terme del membre de la dreta s'anul·la. En aquest cas, les integrals de Skorokhod i d'Itô coincideixen, i l'equació anterior esdevé la isometria d'Itô. La derivada d'una integral de Skorokhod ve donada per la fórmula on representat per , la variable aleatòria que és el valor del procés a "temps" en . La integral de Skorokhod del producte d'una variable aleatòria in i un procés en ve donada per la fórmula
Alternatives Una alternativa a la integral de Skorokhod és la integral d'Ogawa.
Referències
Categoria:Matemàtiques Categoria:Càlcul integral