En matemàtiques, l'equació de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) és una equació diferencial parcial estocàstica no lineal, introduïda per Mehran Kardar, Giorgio Parisi i Yi-Cheng Zhang el 1986. Descriu el canvi temporal d'un camp d'altures amb coordenades espacials i coordenades de temps :
Aquí, és soroll gaussià blanc amb una mitjana
i segon moment
, , i són paràmetres del model, i és la dimensió.
En una dimensió espacial, l'equació KPZ correspon a una versió estocàstica de l'equació de Burgers amb camp mitjançant la substitució .
Mitjançant el grup de renormalització, es conjectura que l'equació KPZ és la teoria de camps de molts models de creixement superficial, com ara el model Eden, la deposició balística i el model SOS (processus sòlid sobre sòlid) d'un sol pas feblement asimètric. Bertini i Giacomin han donat una demostració rigorosa en el cas del model SOS.
Classe d'universalitat KPZ Molts sistemes de partícules que interactuen, com ara el procés d'exclusió simple totalment asimètric, es troben a la classe d'universalitat KPZ. Aquesta classe es caracteritza pels següents exponents crítics en una dimensió espacial (1 + 1 dimensió): l'exponent de rugositat , exponent de creixement , i exponent dinàmic . Per comprovar si un model de creixement està dins de la classe KPZ, es pot calcular l' amplada de la superfície:
on és l'alçada mitjana de la superfície en el temps i és la mida del sistema. Per a models dins de la classe KPZ, les principals propietats de la superfície es pot caracteritzar per la relació d'escala Family - Vicsek de la rugositat
amb una funció d'escalat satisfactori
El 2014, Hairer i Quastel van demostrar que, de manera més general, les següents equacions similars a KPZ es troben dins de la classe d'universalitat KPZ:
on és qualsevol polinomi de grau parell.
Una família de processos que es conjectura que són límits universals en la classe d'universalitat (1+1) de KPZ i que governen les fluctuacions a llarg termini són els processos d'Airy i el punt fix de KPZ.
Resolució de l'equació KPZ A causa de la no linealitat de l'equació i la presència de soroll blanc espai-temps, se sap que les solucions de l'equació KPZ no són llises ni regulars, sinó més aviat "fractals" o "rugoses". Fins i tot sense el terme no lineal, l'equació es redueix a l'equació de calor estocàstica, la solució de la qual no és diferenciable en la variable espacial però satisfà una condició de Hölder amb un exponent menor que 1/2. Així, el terme no lineal està mal definit en un sentit clàssic.
El 2013, Martin Hairer va fer un gran avenç en la resolució de l'equació KPZ mitjançant una extensió de la transformació de Cole-Hopf i la construcció d'aproximacions utilitzant diagrames de Feynman. El 2014, va ser guardonat amb la Medalla Fields per aquest treball sobre l'equació KPZ, juntament amb la teoria de camins aproximats i les estructures de regularitat. Es van trobar 6 solucions autosimilars analítiques diferents per a l'equació KPZ (1+1) amb diferents termes de soroll analític.
Derivació física Una derivació comuna i no rigorosa comença amb un intent de modelar el creixement superficial durant la cristal·lització. Deixa representa l'alçada de la superfície a la posició i temps . S'espera que la superfície evolucioni al llarg del temps segons alguna variant de l'equació de difusió, que actua per suavitzar les condicions inicials. L'equació de difusió en si mateixa no pot descriure l'evolució de la superfície perquè és determinista, ometent els efectes de la precipitació i la dissolució aleatòries.
L'adaptació més simple afegeix un forçament estocàstic: on és soroll blanc gaussià amb mitjana zero i covariància Aquesta equació és l'equació d'Edwards-Wilkinson (EW), també coneguda descriptivament com l'equació de calor estocàstica amb soroll additiu. L'equació EW és matemàticament tractable, ja que és lineal; i resoluble mitjançant l'anàlisi de Fourier. També presenta una simetria important que es conserva a l'equació final de KPZ: si resol l'equació EW quan té mitjana 0, aleshores també resol l'equació EW quan té significat . Així, qualsevol terme constant es pot afegir o eliminar del costat dret sense modificar l'aplicabilitat física. Tanmateix, l'equació EW implica que les fluctuacions en són gaussianes, la qual cosa és contrària a l'experiment. Falta com a mínim un terme per a un model físicament precís.
L'observació clau de Kardar, Parisi i Zhang (KPZ) va ser que el terme que falta depèn del pendent local de la superfície, La superfície del cristall creix perpendicularment a la superfície (variant), però es mesura al llarg d'un eix d'alçada fix. En conseqüència, regions amb grans tenen una longitud superficial més llarga i veuen més deposició.
Es podria esperar que el creixement superficial es modeli amb precisió mitjançant una equació de la forma per alguna funció . Si és únicament proporcional a la longitud d'arc local, aleshores hauria de prendre (fins a una constant additiva, per la simetria EW esmentada anteriorment) el valor per alguna constant . Tanmateix, aquesta elecció de dóna una equació intractable.
El físic que treballa ara està temptat per l'hàbit a simplement expandir-se com una sèrie de Taylor sobre . Aquesta expansió de Taylor no es pot justificar matemàticament. La funció és gran i té una variació molt gran: no hi ha cap punt convenient per expandir-se de Taylor. Tanmateix, com s'ha comentat anteriorment, l'equació KPZ és universal, en el sentit que les mateixes funcions resolen l'equació KPZ per a qualsevol que és un polinomi no constant en . Per exemple, si Si fossin polinomials, aleshores es podria assumir que són quadràtics sense pèrdua de generalitat.
Amb menys rigor, es pot calcular que el flux del grup de renormalització té un únic punt fix: és a dir, . Per tant, si es pot trobar un model interessant, aleshores ha de comportar-se com si Timothy Halpin-Healy and Yi-Cheng Zhang (1995). "Kinetic roughening phenomena, stochastic growth, directed polymers and all that". Physics Reports, vol. 254: p. 236. L'anàlisi matemàtica (extensa!) de l'equació KPZ es dedica a demostrar que l'equació resultant està ben definida: normalment, les distribucions temperades no tenen quadrat, però la divergència associada amb el model KPZ es pot suavitzar després d'aplicar la transformació de Hopf-Cole., pp. 8-10. "The evidence for the Hopf-Cole solutions is now overwhelming. Whatever the physicists mean by KPZ, it is them....The problem is to find an appropriate definition [or interpretation] of (1)-(3) which fits that solution and to prove the corresponding uniqueness."
Per intuïció, suposarem que El primer terme es pot eliminar de l'equació mitjançant la simetria de desplaçament temporal esmentada anteriorment a l'equació EW: si resol l'equació KPZ, aleshores resol El segon es pot eliminar de l'equació mitjançant un desplaçament de coordenades a velocitat constant, ja que si resol l'equació KPZ, aleshores resol El terme quadràtic és la primera contribució no trivial, i és l'única que es conserva. Arribem a l'equació KPZ
Referències
Categoria:Mecànica estadística Categoria:Probabilitat