El moviment brownià és el moviment irregular i aleatori que segueixen petites partícules immerses en un fluid. En un sentit més ampli, hom anomena també moviment brownià la classe de models matemàtics que permeten descriure aquest procés físic i altres fenòmens anàlegs des de la dispersió de la pol·lució per l'aire fins a les variacions del mercat de valors. La seva impredictibilitat està relacionada amb els fractals.
El moviment brownià fou descobert pel biòleg Robert Brown l'any 1827. Mitjançant un microscopi, va observar que petites partícules de pol·len submergides en líquid experimentaven el moviment irregular que avui en dia porta el seu nom. El moviment brownià va romandre inexplicat durant molts anys. El primer en afirmar que era fruit de les pròpies partícules del líquid fou el físic alemany Christian Wiener el 1863. Tot i que sembla que el primer a donar un model del moviment brownià fou Louis Bachelier l'any 1900 a la seva tesi doctoral, hom acostuma a atribuir l'explicació del moviment brownià a Albert Einstein, en un dels seus famosos tres articles de l'any 1905. miniatura|Simulació de moviment Brownià de 5 partícules (en groc) que xoquen amb un conjunt de 800 partícules deixant 5 camins blaus. Una d'elles conté un vector de velocitat en vermell. El moviment brownià afecta a qualsevol petita partícula suspesa en un líquid o gas. També es pot observar en partícules més grans, com les de fum que estan suspeses a l'aire. La magnitud del cop que rep la partícula depèn del moment de les molècules. Així per exemple, quan el fluid està calent, es poden observar molts més xocs i desplaçaments.
Les operacions matemàtiques del moviment brownià van ser desenvolupades a finals del , però va ser Einstein qui va les va incloure en el seu article de 1905, posant-la en relleu a la comunitat científica. Einstein, va utilitzar la teoria de la calor, també basada en col·lisions moleculars, per explicar amb èxit els moviments brownians. Per fer això va argumentar que si la teoria molecular era correcta, les molècules d'aigua colpejarien el fluid aleatòriament de totes direccions, fent que la partícula de pol·len descrigués un moviment de l'estil del descrit per Brown. Cal esmentar que en aquella època la teoria molecular encara no estava totalment acceptada però veient que el moviment brownià donava proves de l'existència de molècules als fluids, els físics es van veure obligats a acceptar-la.
Història miniatura|esquerra|Reproducció del llibre de Jean Baptiste Perrin, Les Atomes, tres rastres del moviment de partícules col·loidals de radi 0.53 µm com es veu en el microscopi, es mostren. Les posicions successives cada 30 segons s'uneixen mitjançant segments de línia recta (la grandària de la malla és de 3,2 µm).Perrin, 1914, p. 115.
El poema científic Sobre la Naturalesa de les coses, del romà Lucreci (60 aC), inclou la notable descripció del moviment brownià de partícules de pols des dels versos 113 fins al 140. L'autor va presentar aquest fet com a prova de l'existència dels àtoms:
Jan Ingenhousz va descriure el moviment irregular de partícules de carbó polvoritzades en la superfície de l'alcohol en 1785. No obstant això, el descobriment del moviment brownià s'atribueix tradicionalment al botànic Robert Brown en 1827. Es creu que Brown va estar estudiant al microscopi partícules de pol·len de la planta Clarkia pulchella surant en l'aigua. Dins dels vacúols dels grans de pol·len va observar diminutes partícules amb moviments nerviosos. En repetir l'experiment amb partícules de pols, va concloure que el moviment no es devia al fet que les partícules de pol·len estiguessin "vives", encara que no va explicar l'origen del moviment.
El primer a descriure matemàticament el moviment brownià va ser Thorvald N. Thiele en 1880, en un document sobre el mètode dels mínims quadrats. Va ser seguit independentment per Louis Bachelier en 1900, en la seva tesi doctoral La teoria de l'especulació, en la qual es presenta una anàlisi estocàstica d'acció i opció de mercats. El model del moviment brownià de les accions de mercat és citat sovint, però Benoit Mandelbrot va rebutjar la seva aplicació al moviment dels preus de les accions, en part perquè són discontinus.
No obstant això, va ser l'estudi independent d'Albert Einstein en el seu article de 1905 (Über die von der molekularischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen / Sobre el moviment postulat per la teoria cinètica molecular de la calor de petites partícules suspeses en un líquid estacionari) en el qual va mostrar la solució als físics, com una forma indirecta de confirmar l'existència d'àtoms i molècules.
En aquesta època la naturalesa atòmica de la matèria encara era una idea controvertida. Einstein i Marian Smoluchowski van deduir que, si els components de l'equació de fluxos incomprensibles del principi de Bernoulli era correcte, llavors les molècules d'aigua tindrien moviments aleatoris. Per tant, les partícules petites podrien rebre un nombre aleatori d'impactes, de força aleatòria i de direccions aleatòries, en curts períodes. Aquest bombardeig aleatori per les molècules del fluid podria ser suficient perquè les partícules petites es moguessin de la manera exacta que Brown havia descrit. Theodor Svedberg va fer importants demostracions del moviment brownià en col·loides, així com a Felix Ehrenhaft ho va fer amb partícules de plata en l'atmosfera terrestre. Jean Perrin també va dur a terme experiments per a verificar els models matemàtics, i en publicar els seus resultats finals es va posar fi a dos mil anys de disputa sobre la realitat de les molècules i els àtoms.
Teoria d'Einstein Hi ha dues parts en la teoria d'Albert Einstein: la primera part consisteix en la formulació d'una equació de difusió de partícules brownianas, en la qual el coeficient de difusió està relacionat amb el desplaçament quadràtic mitjà d'una partícula browniana, mentre que la segona part relaciona el coeficient de difusió de les magnituds físiques mesurables. D'aquesta manera Einstein va ser capaç de determinar la grandària dels àtoms, i el nombre d'àtoms que hi ha en un mol, o el pes molecular (en grams), d'un gas. D'acord amb la llei d'Avogadro, aquest volum és el mateix per a tots els gasos ideals, que és 22,414 litres a temperatura i pressió estàndard. El nombre d'àtoms continguts en aquest volum es coneix com número d'Avogadro, i la determinació d'aquest número és equivalent al coneixement de la massa d'un àtom, atès que aquesta última s'obté dividint la massa d'un mol de gas pel número d'Avogadro.
miniatura|300px|Les corbes característiques en forma de campana de la difusió de partícules brownianes. La distribució comença com una funció delta de Dirac, la qual cosa indica que totes les partícules es troben en l'origen amb temps t = 0, i per l'augment dels temps es tornen cada vegada més i més plans fins que es converteix en la distribució uniforme en el límit de temps asimptòtic.
La primera part del raonament d'Einstein va ser determinar quant viatja una partícula browniana en un interval de temps donat. Una partícula browniana sofreix de l'ordre de 1014 col·lisions per segon. Això va portar a considerar a Einstein el moviment col·lectiu de les partícules brownianas.
Va considerar l'increment en la coordenada de la partícula com una variable aleatòria ( o , en virtut de la transformació de coordenades que porta l'origen a la posició inicial de la partícula), amb funció de densitat de probabilitat . A més, suposant conservació del nombre de partícules, va desenvolupar la densitat (nombre de partícules per unitat de volum) en sèrie de Taylor:
En l'última expressió, la primera integral és 1 per la normalització de la probabilitat, i la segona integral (i totes les de la mateixa forma en les quals estigui elevada a un exponent imparell) s'anul·la per la simetria de . Queda llavors
De la comparació de termes s'obté la següent relació:
.
Es pot demostrar que quan i tendeixen a 0 el quocient que hi ha en l'última integral tendeix a un límit, la qual cosa permet definir el coeficient de difusió:
.
La densitat de les partícules brownianas satisfà l'equació de difusió:
.
Suposant que partícules comencen des de l'origen en el temps inicial , l'equació de difusió té la solució
,
que és una distribució normal de mitjana i variància . La variància és el desplaçament quadràtic mitjà, . En prendre la seva arrel quadrada s'observa que el desplaçament d'una partícula browniana no és proporcional al temps transcorregut, sinó a l'arrel quadrada del temps.A. Einstein, Investigations of the Theory of Brownian Movement (Dover, 1956). En fer aquest tipus d'afirmacions sobre una partícula a partir del comportament d'una col·lectivitat de partícules s'està fent un petit salt conceptual que pot justificar-se.
La segona part de la teoria d'Einstein es refereix a la constant de difusió en quantitats físicament mesurables, com ara la mitjana al quadrat de desplaçament d'una partícula en un interval de temps donat. Aquest resultat permet la determinació experimental del número de Avogadro i per tant la grandària de les molècules. Einstein va analitzar un equilibri dinàmic que s'estableix entre forces oposades. La bellesa del seu argument és que el resultat final no depèn del fet que les forces estan involucrades en l'establiment de l'equilibri dinàmic.
En el seu tractament original, Einstein considerava un experiment de pressió osmòtica, però a la mateixa conclusió es pot arribar d'una altra manera.
Considerem, per exemple, partícules en suspensió en un fluid viscós en un camp gravitatori. La gravetat tendeix a fer que les partícules es dipositin, mentre que la difusió actua per a homogeneïtzar-los, conduint-los a regions de menor concentració. Sota l'acció de la gravetat, una partícula adquireix una velocitat descendent de, on és la massa de la partícula, és l'acceleració deguda a la gravetat i és la mobilitat de la partícula en el fluid. George Stokes havia demostrat que la mobilitat d'una partícula esfèrica amb radi és , on és la viscositat dinàmica del fluid. En un estat d'equilibri dinàmic, les partícules es distribueixen d'acord amb la distribució baromètrica
,
on és la diferència en la densitat de les partícules separades per un desnivell de , és la constant de Boltzmann (és a dir, la relació de la constant universal dels gasos, , amb el número de Avogadro,), i és la temperatura absoluta. És el número d'Avogadro el que es determinarà.
miniatura|La distribució d'equilibri per a les partícules de gamboge mostra la tendència dels grànuls al fet que es moguin a les regions de menor concentració quan es veuen afectats per la gravetat. S'estableix l'equilibri dinàmic, perquè com més es tiren cap avall les partícules per la gravetat, major és la tendència al fet que les partícules migrin a regions de menor concentració. El flux està donada per les lleis de Fick,
,
on . Aplicant la fórmula per a , trobem que
.
En un estat d'equilibri dinàmic, aquesta velocitat ha de ser també igual a . Cal observar que totes dues expressions per a V són proporcionals a mg, reflectint com la derivació és independent del tipus de forces considerades. Igualant aquestes dues expressions es deriva aquesta expressió per a la difusivitat:
.
Aquí la primera igualtat es desprèn de la primera part de la teoria d'Einstein, la tercera la igualtat es desprèn de la definició de la constant de Boltzmann com , i la quarta igualtat es dedueix de la fórmula de Stokes per a la mobilitat. Mesurant el quadrat mitjà del desplaçament durant un interval de temps, juntament amb la constant universal dels gasos , la temperatura , la viscositat , i el radi de la partícula , el número de Avogadro pot ser determinat.