miniatura|El símbol ∞ en diferents tipografies.
El concepte d'infinit apareix en diverses branques de la filosofia, la matemàtica i l'astronomia, en referència a una quantitat sense límit o final, contraposat al concepte de finitud.
En matemàtiques linfinit, representat amb el símbol ∞ (), és la fita superior del conjunt del nombres reals.
Tanmateix, no es tracta d'un nombre en si, sinó d'un concepte al qual hom només s'hi pot aproximar mitjançant límits. Per exemple, en la funció , quan x tendeix a 0 (és a dir, s'aproxima cada cop més a 0), tendeix a l'infinit (es fa cada cop més gran), però no es diu que arriba al valor "infinit".
Símbol miniatura|John Wallis va ser el primer matemàtic a utilitzar el símbol de l'infinit en les seves obres.
El símbol de l'infinit va ser introduït pel matemàtic anglès John Wallis el 1655, en la seva obra De sectionibus conicis, i poc després en lArithmetica Infinitorum: esto enim ∞ nota numeri infiniti.(en anglès) Earliest uses of symbols of calculus
Té la forma de la Lemniscata de Bernoulli, encara que realment es desconeix d'on Wallis va treure la idea. Molts comenten que té la forma d'una banda de Moebius, però no és cert, ja que el descobriment d'August Möbius va ser posterior.
Hi ha tres hipòtesis pel que fa a l'origen d'aquesta elecció. La més habitualment admesa és que es tracta d'una evolució de la xifra que designa '1.000' en numeració romana: de manera successiva Ⓧ, després CIƆ, abans d'esdevenir M. L'evolució gràfica del segon símbol hauria donat . Paral·lelament, s'observa l'ús de la paraula llatina mille en plural per a designar un nombre arbitràriament gran i desconegut. En català, es diu n'hi ha milers amb aquest mateix sentit. El símbol actual seria doncs simplement l'evolució del dígraf en minúscula cıɔ en escriptura manuscrita uncial.
Una hipòtesi rival és que el símbol procediria de la lletra grega ω, última lletra de l'alfabet grec, i metàfora habitual per designar l'extrem final (com en l'expressió l'alfa i l'omega). A partir de Georg Cantor, per altra banda, es fan servir lletres gregues per designar els nombres ordinals infinits. El nombre ordinal infinit més petit, que correspon a l'ordre usual sobre els nombres naturals, s'anota ω.
Finalment, Georges Ifrah, en la seva enciclopèdia La història universal de les xifres, explica que la grafia de l'infinit es remunta a la civilització índia, i més particularment a la mitologia índia. L'Ananta (terme sànscrit que significa 'infinit'), la «serp infinita» del déu Vishnu, es representa enrotllat sobre ell mateix a la manera d'un «vuit caigut».
Història L'infinit potencial a l'antiguitat Els matemàtics han fet servir de sempre la pertinença i la inclusió, però han tingut grans dificultats per associar a aquests conceptes els de nombre i grandària. Es conformaven amb la possibilitat d'augmentar tota grandària donada, o de disminuir-la si es tracta d'una grandària continua.Bourbaki, Eléments de mathématiques, Diffusion CCLS 1977, EIV pp.57-58
Els grecs són la primera civilització de la qual ens consta que van arribar a establir un concepte d'infinit. Se li atribueixen les primeres aparicions en la seva història a Anaximandre (c. 610 - c. 546 aC), un filòsof pre-socràtic nadiu de Milet, qui nombra linfinit com apeiron, que vol dir sense límits, infinit, indefinit o indeterminat. Tanmateix, aquesta paraula fou també utilitzada per descriure el caos original des del qual es va originar el món. No és estrany, doncs, que el mot apeiron fos pejoratiu. L'observació tradicional portà a la necessitat d'un concepte dinfinit: sembla que es pot subdividir una línia indefinidament, no es pot trobar el principi ni el final del temps, sempre podem trobar un nombre natural més gran que el donat anteriorment…
Cal entendre que molts conceptes matemàtics desenvolupats a l'època necessiten linfinit. Treballs com els dels pitagòrics, que veuen que la diagonal del quadrat no és mesurable amb el seu costat o definicions com les que fa Euclides als seus Elements sobre els nombres primers “hi ha més nombres primers que en qualsevol col·lecció de nombres primers” eludeixen clarament a aquest concepte. En efecte, no ser mesurable respecte al costat del quadrat significa no poder ser expressat com una fracció de nombres enters, per tant, ésser un nombre irracional (infinites xifres decimals no periòdiques). D'altra banda, el fet d'haver-hi més nombres que en qualsevol col·lecció indica haver-hi infinits nombres. Veiem, doncs, que la postura grega davant tal concepte implica una dificultat afegida a l'avenç en aquests estudis. Al llarg d'aquesta època, distints pensadors s'enfronten a l'infinit i tracten amb aquest problema.
Zenó d'Elea i les seves paradoxes Trobem en Zenó d'Elea (c. 490 - 430 aC) un exemple del rebuig o terror que se sentia cap a linfinit. Pensador pre-socràtic, formulà problemes per als seus alumnes, paradoxes que juguen amb el concepte i que s'han fet famoses i han perdurat a través de la història. En conservem nou, comentades a la Física d'Aristòtil. Es consideren un dels primers vestigis de la reducció ad absurdum o per contradictio. Tres de les més famoses són:
Aquil·les i la tortuga. “En una cursa, el corredor més ràpid no pot mai sobrepassar al més lent, ja que el perseguidor ha d'arribar primer al punt on el perseguit ha començat, de manera que el més lent sempre manté un avantatge.”En aquesta paradoxa, Zenó planteja la situació d'una cursa entre Aquil·les i una tortuga. Aquest li dona avantatge a la tortuga al començar i s'imposa la condició que haurà d'arribar sempre primer al punt on la tortuga hagi arribat abans d'avançar-la. Per tant, com que hi ha un nombre infinit de punts al que Aquil·les haurà d'arribar abans de poder sobrepassar la tortuga, no podrà superar-la mai.
La paradoxa de la dicotomia. “Aquesta és en la que la locomoció ha d'arribar a la meitat del camí que s'està recorrent abans d'arribar al destí.”En aquesta paradoxa, es planteja la situació en què abans d'arribar al destí, primer hem de viatjar la meitat del camí que queda fins a arribar al destí. Així doncs, si volem viatjar una distància d'1, primer hauríem de viatjar . Però si volem viatjar , primer hauríem de viatjar … I així successivament.
Presenta dos problemes principalment. El primer, evidentment, és que implica un nombre infinit de tasques a dur a terme (sempre podem dividir la distància entre dos), de la qual, la resolució de Zenó resulta que tal procés és impossible. L'altre problema, llavors, és que no hi pot haver una distància primera per començar a recórrer, ja que tot nombre pot ser meitat d'un altre. Podem expressar-ho amb la sèrie . La conclusió és, doncs, que tal distància no pot ser ni començada ni acabada.
La paradoxa de la fletxa. “Si tot allò quan ocupa un espai igual està en repòs, i quan està en locomoció sempre ocupa tal espai en tot moment, llavors el vol d'una fletxa és sense moviment”.En aquesta paradoxa, Zenó argumenta que per haver-hi moviment, un objecte ha de canviar la posició que ocupa. Durant el vol d'una fletxa, en qualsevol moment (per tant, sense duració) la fletxa no es mou ni cap on és ni cap on no és: no es pot moure on està perquè ja ocupa aquesta posició, no es pot moure cap on no està perquè no hi ha un període suficient per canviar la seva posició. Per tant, en cap instant de temps hi ha moviment. I si tot és sense moviment en qualsevol instant i el temps està compost d'instants, llavors el moviment seria impossible.
Aquests problemes han estat analitzats per matemàtics i filòsofs durant els dos mil·lennis posteriors. Tanmateix, són les respostes dels mateixos grecs les que ens interessen, ja que demostren prou bé el fort rebuig que sentien cap a l'acceptació de l'existència d'infinit.
Èudox de Cnidos Com s'ha mencionat abans, aquest concepte suposà un escàndol al món pitagòric, la filosofia dels quals estava fortament assentada en la perfecció de les formes i la mesurabilitat. Els nombres irracionals mai foren acceptats i per tal d'evitar la confrontació amb aquests i salvar el problema de la diagonal del quadrat, s'establí una distinció entre nombre i magnitud del segment. Èudox de Cnidos (c. 400 - 347 aC) s'enfrontarà precisament a aquest problema, vorejant el concepte d'infinit sense caure en ell. Nadiu de Cnidos, una colònia grega de l'Àsia menor, arribà a Atenes com a assistent d'un doctor, on assistí a algunes classes de l'Acadèmia de Plató. A partir d'aquí, segurament per l'herència pitagòrica, farà aportacions a la teoria de proporció.
Arquímedes li atribueix el fet de trobar una manera de comparar dues magnituds incommensurables, teoria que trobem al llibre V dels Elements d'Euclides, esmentada com l'axioma d'Èudox:Definició 4: “Es diu que les magnituds guarden raó entre si quan, al multiplicar-se, poden excedir l'una a l'altra.”En el cas concret del problema dels pitagòrics, la comparació entre nombres irracionals i racionals queda solucionada. Si considerem el quadrat de costat i de diagonal , llavors, , cosa que ens permet comparar qualsevol tipus de línies.
Relacionat directament amb les seves aportacions a la teoria de la proporció, tenint en compte que ja es pot comparar nombres irracionals, Èudox desenvolupa un mètode anàleg a l'actual integració: el mètode d'exhaustió. Aquest està basat en el treball d'Antifont d'Atenes, un filòsof anterior a ell, sobre l'aproximació de l'àrea del cercle mitjançant la inscripció de polígons regulars de cada cop més costats. Utilitzarà aquest resultat per demostrar certs teoremes, fent-lo més rigorós. La clau del mètode consisteix que la diferència entre l'àrea del n-èsim polígon inscrit i la de la circumferència que el conté esdevé arbitràriament petita si n es fa cada cop major. A mesura que això passa, els possibles valors que pot assolir l'àrea de la circumferència són exhaurits pels valors de les àrees de la seqüència de polígons inscrits.
Com podem apreciar, aquest fa servir el concepte que avui en dia anomenem límit: l'àrea dels polígons inscrits tendeix a l'àrea de la circumferència a l'infinit. Ja que aquest pas no es podia donar, Èudox soluciona el problema definint allò tan petit com es vulgui. Euclides, qui ja hem vist que no contempla l'ús del concepte d'infinit, usarà aquest mètode al llibre XII dels Elements per demostrar les següents proposicions (sobre cercles):Proposició 2: Els cercles són l'un a l'altre com els quadrats dels seus diàmetres.Proposició 3: Tota piràmide que té com a base un triangle es divideix en dues piràmides iguals, semblants una a l'altra i a la piràmide sencera, que tenen triangles com a base, i es divideix en dos prismes iguals; i els dos prismes són majors que la meitat de la piràmide sencera.Proposició 10: Qualsevol con és la tercera part del cilindre que té la mateixa base i la mateixa altura.Proposició 11: Els cons i els cilindres que tenen la mateixa altura són un a l'altre com les seves bases.Proposició 12: Els cons i cilindres semblants guarden entre si una raó triplicada de la que guarden els diàmetres de les seves bases.Proposició 18: Les esferes guarden una amb l'altra una raó triplicada de la raó dels seus respectius diàmetres.Poc més tard, Arquímedes l'utilitzarà per als seus problemes de càlcul de quadratures i corbes.
Aristòtil i l'infinit potencial El gran filòsof que s'encara al concepte d'infinit i tracta de solucionar els problemes que suposa és Aristòtil (384 - 322 aC). Recull les idees dels seus antecessors i contemporanis: tant els pitagòrics com Plató consideren linfinit com una cosa en si mateixa, més que un atribut d'alguna cosa més; d'altra banda, autors com Anaxàgores i Demòcrit, als que considera físics, defineixen l’infinit com un atribut d'una substància, més que una entitat en si mateixa.