Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del griego antiguo πολύεδρον (polyedron), de la raíz πολύς (polys), «muchas» y de ἕδρα (hedra), «base», «asiento», «cara».
Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el punto o vértice es el semejante topológico del poliedro en cero dimensiones, una arista o segmento lo es en 1 dimensión, el polígono para 2 dimensiones; y el polícoro es el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos, por lo que se puede definir un poliedro como un politopo tridimensional.
Definición La definición más común de poliedro es la de una región acotada del espacio, delimitada solamente por polígonos planos.
Sin embargo, la definición puede cambiar dependiendo de si se interpreta un poliedro como un volumen, como los polígonos que lo delimitan, o como únicamente los segmentos que conforman el esqueleto del poliedro.
Esta y otras variaciones en la definición permiten la inclusión de otros términos, tales como las estelaciones, teselaciones, caras oblicuas, geometría no euclidiana, etc.
Denominación de los poliedros El nombre dado a un poliedro depende de las propiedades del poliedro que sean relevantes en el contexto en que se esté mencionando.
Normalmente el nombre incluye: Alguna cualidad acerca de las caras del poliedro, como su número (tetraedro (4), pentaedro (5), etc.); su forma (deltaedro (triangular), romboedro (rómbica), etc.); u otra cualidad Propiedades que posea el poliedro (si es regular, toroidal, rómbico, etc.) Transformaciones que han sido hechas en el poliedro (truncado, romo, estrellado, etc.)
Criterios de clasificación de los poliedros Los poliedros pueden clasificarse según varios criterios:
Los poliedros convexos contienen en su interior todos los segmentos que unen dos puntos también contenidos en el poliedro. En el caso de que dicho segmento se salga del cuerpo se dice que son poliedros cóncavos, como es el caso de los poliedros toroidales y los sólidos de Kepler-Poinsot. Los poliedros de caras regulares tienen solo polígonos regulares como caras. Los poliedros isoedrales o transitivos de caras poseen bajo las simetrías del poliedro una equivalencia entre cualquier par de caras. Los poliedros isotoxales o transitivos de aristas poseen bajo las simetrías del poliedro una equivalencia entre cualquier par de aristas. Los poliedros isogonales o transitivos de vértices poseen bajo las simetrías del poliedro una equivalencia entre cualquier par de vértices.
Estos en conjunto definen algunas de las principales familias de poliedros: (Las propiedades en amarillo solo se encuentran en algunos (pero no todos) los poliedros de la familia.)
Convexos De caras regulares Isoedrales Isotoxales Isogonales Familia Si Si No No No Sólidos de Johnson No nec. Si No Si Si Poliedros cuasirregulares No nec. Si No nec. No nec. Si Poliedros uniformes No nec. No nec. Si No nec. Si Poliedros nobles No nec. Si Si Si Si Poliedros regulares No Si Si Si Si Sólidos de Kepler-Poinsot Si Si Si Si Si Sólidos platónicos
Clasificación según el número de caras thumb|Poliedros exhibidos en el museo Universum en la Ciudad de México|280px
El nombre que se le asigna a un poliedro según su número de caras se compone de un prefijo numeral más el sufijo ‑edro. La siguiente lista muestra varios ejemplos: Nombre Número de caras Henaedro o monoedro 1 Diedro 2 Triedro 3 Tetraedro 4 Pentaedro 5 Hexaedro 6 Heptaedro 7 Octaedro u octoedro 8 Eneaedro o nonaedro 9 Decaedro 10 Endecaedro o undecaedro 11 Dodecaedro 12 Tridecaedro 13 Tetradecaedro 14 Pentadecaedro 15 Hexadecaedro 16 Heptadecaedro 17 Octadecaedro u octodecaedro 18 Eneadecaedro o nonadecaedro 19 Icosaedro o isodecaedro 20 Triacontaedro o tricontaedro 30 Tetracontaedro 40 Pentacontaedro o pentecontaedro 50 Hectaedro o hecatontaedro 100 Chiliaedro 1.000 Miriaedro 10.000 Decamiriaedro 100.000 Hectamiriaedro o megaedro 1.000.000 Gigaedro 1.000.000.000 Quettaedro 1030 Googoledro 10100 Apeiroedro infinitos n-edron puede ser cualquier constante o variable escrita por su nombre o en dígitos. n
Reglas de denominación El prefijo numeral que forma parte de estos nombres se puede dividir según el dígito en el número de caras que es descrito por cada parte del prefijo.
Cada una de estas puede a su vez dividirse en dos partes: la primera (prefijo de dígito) indica el dígito al que se refiere (1, 2, 3, ..., hasta 9), y la segunda (prefijo de posición) indica la posición que lleva el dígito en el número de caras al que se refiere (decenas, centenas, etc.)
Además, se tiene que: Los 0s, la posición de los 1s y la del dígito en las unidades no se mencionan en el nombre Si el dígito en las decenas es un 1 o el número de caras termina en 12, las unidades se mencionan antes que las decenas El prefijo isodeca- puede reemplazarse por icosa-
La siguiente tabla muestra los distintos prefijos de dígito y de posición. Dependiendo de la posición del dígito correspondiente, los prefijos que se usan varían. Prefijo de dígito Prefijo de posición Dígito Posición del dígito correspondiente Posición Prefijo Cualquiera Unidades Decenas Centenas 1 en-, hena-, mono- o un-mono- solo se usa si el dígito en las decenas corresponde a 0, y en- o un- solo se usan si el dígito en las decenas es 1 10 conta- o deca-deca- se usa solo si el dígito en las decenas es 1 o 2, y conta- solo en caso contrario 2 di-di- se usa solo si el dígito en las decenas es distinto 1 y el nombre no contiene el prefijo deca- do-do- se usa solo si el dígito en las decenas es 1 iso- dia-dia- se usa en las centenas solo si el nombre contiene el prefijo cosi- 100 cosi-, hecatonta- o hecta-hecatonta- se usa solo si el dígito correspondiente es 1, y cosi- solo en el caso contrario 3 tri- tria- tria-tria- se usa en las centenas solo si el nombre contiene el prefijo cosi- 1.000 chilia- 4 tetra- 10.000 miria- 5 penta- pente- 100.000 decamiria- 6 hexa- hexe- 1.000.000 hectamiria- o mega- 7 hepta- 10.000.000 decamega- 8 octa- octo- 100.000.000 hectamega- 9 enea- o nona- ...A partir del megaedro se utiliza el prefijo del SI correspondiente, y se añade antes el prefijo deca- o hecta- para especificar potencias de 10 intermedias.
Familias de poliedros Poliedros regulares Un poliedro regular es isoedral, isotoxal, isogonal, y todas sus caras son regulares. En total existen cinco poliedros regulares convexos, que corresponden a los sólidos platónicos; más 4 no convexos, que corresponden a los sólidos de Kepler-Poinsot y son estelaciones de sólidos platónicos; sumando 9 en total.
Sólidos platónicos Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Solo existen cinco sólidos platónicos. Nombre Imagen Símbolo de Schläfli Configuración de vértices Tetraedro 60px|Tetraedro {3,3} 3.3.3 Cubo o hexaedro regular 60px|Cubo {4,3} 4.4.4 Octaedro 60px|Octaedro {3,4} 3.3.3.3 Dodecaedro 60px|Dodecaedro {5,3} 5.5.5 Icosaedro 60px|Icosaedro {3,5} 3.3.3.3.3
Sólidos de Kepler-Poinsot Los sólidos de Kepler-Poinsot o sólidos de Kepler son poliedros regulares y que, a diferencia de los sólidos platónicos, no son convexos. Solo hay cuatro de ellos y se obtienen como estelaciones del dodecaedro o del icosaedro. Nombre Imagen Símbolo de Schläfli Configuración de vértices Gran dodecaedro 60px|Gran dodecaedro {5,} (55)/2 Pequeño dodecaedro estrellado 60px|Pequeño dodecaedro estrellado {,5} ()5 Gran icosaedro 60px|Gran icosaedro {3,} (35)/2 Gran dodecaedro estrellado 60px|Gran dodecaedro estrellado {,3} ()3
Poliedros irregulares Los poliedros irregulares son aquellos que tienen desigualdades entre sus caras, aristas y/o vértices.
Sólidos arquimedianos Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son poliedros convexos y uniformes pero no transitivos de caras, y no incluyen a la familia infinita de los poliedros prismáticos. Fueron ampliamente estudiados por Arquímedes. Algunos se obtienen truncando los sólidos platónicos. Solo hay trece sólidos arquimedianos. Nombre Imagen Configuración de vértices Tetraedro truncado 60px|Tetraedro truncado 3.6.6 Cuboctaedro 60px|Cuboctaedro 3.4.3.4 Cubo truncado 60px|Cubo truncado 3.8.8 Octaedro truncado 60px|Octaedro truncado 4.6.6 Rombicuboctaedro 60px|Rombicuboctaedro 3.4.4.4 Cuboctaedro truncado 60px|Cuboctaedro truncado 4.6.8 Cubo romo 60px|Cubo romo 3.3.3.3.4 Icosidodecaedro 60px|Icosidodecaedro 3.5.3.5 Dodecaedro truncado 60px|Dodecaedro truncado 3.10.10 Icosaedro truncado 60px|Icosaedro truncado 5.6.6 Rombicosidodecaedro 60px|Rombicosidodecaedro 3.4.5.4 Icosidodecaedro truncado 60px|Icosidodecaedro truncado 4.6.10 Dodecaedro romo 60px|Dodecaedro romo 3.3.3.3.5
Prismas y antiprismas El resto de poliedros convexos y uniformes consiste de prismas y antiprismas, los cuales en conjunto llevan el nombre de poliedros prismáticos. Las familias de los prismas y antiprismas son ambas infinitas.
Todos los prismas uniformes se construyen con dos caras paralelas llamadas bases, directrices o caras directrices, y una serie de cuadrados, tantos como lados tenga la cara directriz. Por ejemplo, el prisma cuyas caras directrices son triangulares se llama prisma triangular y se compone de dos triángulos y tres cuadrados.
Los antiprismas uniformes también contienen dos directrices, pero en este caso van unidas por triángulos, donde la base de cada triángulo va unida a una arista de una de las bases del antiprisma, y el vértice del mismo triángulo va unido a un vértice de la otra base.
Sólidos de Johnson El resto de los poliedros convexos de caras regulares está conformado por los sólidos de Johnson. Este es un grupo extenso de poliedros convexos de caras regulares y no uniformes. Solo uno de estos, el pseudorrombicuboctaedro, tiene la misma configuración en todos sus vértices (pero no es transitivo de vértices). Los sólidos de Johnson fueron clasificados y ampliamente estudiados por el matemático Norman Johnson. Solo hay 92 sólidos de Johnson.
Poliedros estrellados uniformes Los poliedros estrellados uniformes son una familia de poliedros no convexos, isogonales y de caras regulares. Contiene dos familias infinitas, los prismas estrellados y los antiprismas estrellados, más otros 57 poliedros, 4 de los cuales son los sólidos de Kepler-Poinsot.
Otras familias de poliedros Sólidos de Catalan Corresponden a los duales de los sólidos de Arquímedes (el dual es básicamente el reemplazo de las caras por vértices y viceversa, de manera que las uniones entre los vértices del dual coincidan con las uniones entre las caras del poliedro original). Por ejemplo, el dual del icosaedro (de 20 caras y 12 vértices) es el dodecaedro (de 12 caras y 20 vértices), y viceversa. Los sólidos de Catalan son isoedrales, pero no de caras regulares. Nombre Imagen Tetraedro triakis 60px|Triaquistetraedro Dodecaedro rómbico 60px|Dodecaedro rómbico Triaquisoctaedro 60px|Triaquisoctaedro Tetraquishexaedro 60px|Tetraquishexaedro Icositetraedro deltoidal 60px|Icositetraedro deltoidal Disdiaquisdodecaedro 60px|Disdiaquisdodecaedro Icositetraedro pentagonal 60px|Icositetraedro pentagonal Triacontaedro rómbico 60px|Triacontaedro rómbico Triaquisicosaedro 60px|Triaquisicosaedro Pentaquisdodecaedro 60px|Pentaquisdodecaedro Hexacontaedro deltoidal 60px|Hexecontaedro deltoidal Disdiaquistriacontaedro 60px|Disdiaquistriacontaedro Hexecontaedro pentagonal 60px|Hexecontaedro pentagonal
Deltaedros Se llama deltaedros a los cuerpos que solo están formados por triángulos equiláteros. Solo hay ocho deltaedros convexos. Tres de ellos pertenecen a los sólidos platónicos: el tetraedro, el octaedro y el icosaedro; y los otros cinco a los sólidos de Johnson: la bipirámide triangular, la bipirámide pentagonal, la bipirámide cuadrada giroelongada, el biesfenoide romo y el prisma triangular triaumentado.