Elemento supremo e ínfimo

thumb|right|300px|Un conjunto A de números reales (representados por círculos azules), un conjunto de cotas superiores de A (círculos rojos), y el mínimo de las cotas superiores, el supremo de A (diamante rojo).

En matemáticas, dado un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado , el supremo de , si existe, es el mínimo elemento de que es mayor o igual a cada elemento de . En otras palabras, es la mínima de las cotas superiores de . El supremo de un conjunto comúnmente se denota como .

De forma análoga, se define el ínfimo , si existe, como la mayor de las cotas inferiores de , y se suele denotar por .

Definiciones Sea un subconjunto no vacío de . Si está acotado por arriba , entonces se dice que una cota superior es un supremo ―o una mínima cota superior― de si es menor que cualquier cota superior de . En tal caso, a esa cota superior se le denota . Si está acotado por abajo, entonces se dice que una cota inferior es un ínfimo ―o una máxima cota inferior― de si es mayor que cualquier cota inferior de . En tal caso, a esa cota inferior se le denota Bartle- Sherbert. Introducción al análisis matemático de una variable.ISBN 968-18-1725-7

Propiedades En el cuerpo de los números reales, todo subconjunto no vacío, acotado superiormente posee un supremo, contenido o no dentro del subconjunto.

es supremo del subconjunto no vacío del conjunto de números reales si es cota superior de y si, y solo si para toda existe en tal que .

es ínfimo del subconjunto no vacío del conjunto de números reales si es cota inferior de y si, y solo si para toda existe en tal que .

Sean un subconjunto acotado de números reales y un subconjunto no vacío de . Se cumple que .Rodríguez y otros. cálculo diferencial e integral. Parte I

Si el supremo (ínfimo) existe, entonces es único , si es que dichos supremos existen , si es que dichos ínfimos existen Un conjunto tiene máximo (mínimo) si y solamente si el supremo (ínfimo) es un elemento de dicho conjunto.

Ejemplos

Véase también Acotado

Elemento maximal y minimal Elemento máximo y mínimo

Elemento mayorante y minorante Elemento mayor y menor

Elemento supremo e ínfimo

Referencias

Bibliografía Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1976. Supremum (en PlanetMath.org)

Categoría:Teoría del orden Categoría:Superlativos