thumb|275px|El 1-esqueleto de una pirámide es un grafo rueda
En geometría, una pirámide (del latín pyrămis, -ĭdis, y este del griego pyramís, -ídos; propiamente 'pastel de harina de trigo de forma piramidal', derivado de πυρός pyrós 'harina de trigo') Pirámide: Sólido que tiene por base un polígono cualquiera y cuyas caras, tantas en número como los lados de aquel, son triángulos que se juntan en un solo punto, llamado vértice.πυραμίς, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus Digital LibraryThe word meant "a kind of cake of roasted wheat-grains preserved in honey"; the Egyptian pyramids were named after its form (R. S. P. Beekes, Etymological Dictionary of Greek, Brill, 2009, p. 1261). es un poliedro, constituido por un polígono simple (llamado base) y cuyas caras laterales son triángulos que se juntan en un vértice común, también llamado ápice o cúspide. Los triángulos se denominan caras laterales. El lado común a dos caras laterales se llama arista, del mismo modo que cualquier lado de la base. El número total de las aristas es el doble del número de lados de la base. Estrictamente, el poliedro tiene vértices poliedrales, donde es el número de vértices de la base. Todas las pirámides son poliedros autoduales.
Las pirámides son una clase de prismatoide, y mediante su duplicación simétrica por reflexión en el plano de la base permiten generar bipirámides.
Definición
Se llama pirámide a un cuerpo geométrico que es la unión de todos los segmentos que unen todos los puntos de un polígono S con un punto P exterior al plano del polígono.
Se considera que el polígono es una parte del plano y es un conjunto bidimensional. Cuando no se especifica su configuración, generalmente se asume que se está hablando de una pirámide cuadrada "regular", como las conocidas pirámides de Egipto.
Elementos De acuerdo con las denominaciones de la primera imagen del artículo: [B] Base: es el polígono cuyos puntos son los extremos de los segmentos que se unen con el punto exterior. [C] Centroide de la base: centro del polígono que forma la base. [vi] Vértices de la base: puntos que definen la base. [A] Vértice de la pirámide: también denominado ápice o cúspide, es el punto exterior al plano de la base, formada a su vez por sus propios vértices. [h] Altura: es el segmento perpendicular al plano de la base trazado desde el vértice de la pirámide. También lo es su medida. En las pirámides rectas regulares, la altura pasa por el centroide de la base. [P] Apotema de la pirámide: es un segmento tendido perpendicularmente desde el vértice de la pirámide a un lado de la base. [p] Apotema de la base: es un segmento tendido perpendicularmente desde el centroide de la base a uno de sus lados. Arista lateral: es el segmento que une cada vértice de la base con el ápice de la pirámide. Cara lateral: al unir cada lado de la base por sus extremos con el vértice de la pirámide se determina una región triangular, llamada cara lateral.Londoño- Bedoya. Álgebra y/o geometría 4.ISBN 84-8276-412-8
Tipos de pirámides mini|275px|Pirámides recta (1) y oblicuas: (2) aguda, (3) rectángula y (4) obtusa Según la posición de la cúspide sobre la base
Una pirámide recta es un tipo de pirámide en el que la proyección ortogonal de la cúspide sobre la base coincide con el centroide.
Una pirámide oblicua es una pirámide que no es recta. Si la base de una pirámide oblicua es un polígono regular, es posible que no todas sus caras laterales son triángulos isósceles. Es decir, alguna de sus caras laterales no es un triángulo isósceles.
Una pirámide aguda tiene la proyección de la cúspide por dentro de la base.
Una pirámide en ángulo recto (o rectangular) tiene la proyección de la cúspide sobre un lado o vértice de la base.
Una pirámide obtusa tiene la proyección de la cúspide por fuera de la base.
Esta clasificación toma como referencia una cara de la pirámide, designada como su base, y el tipo puede cambiar si se cambia la cara de referencia de la misma pirámide.
Según la forma de sus caras
Una pirámide de base regular es una pirámide cuya base es un polígono regular.
Una pirámide regular es una pirámide recta y de base regular. Sus caras laterales son todas triángulos isósceles idénticos cuya altura corresponde al apotema de la pirámide. Solo existen tres pirámides de este tipo con las caras triángulos equiláteros: el tetraedro (pirámide triangular), la pirámide cuadrada y la pirámide pentagonal.
Una pirámide convexa tiene como base un polígono convexo.
Una pirámide cóncava tiene como base un polígono cóncavo.
Pirámides rectas de base regular Una pirámide recta de base regular tiene sus caras laterales formadas por triángulos isósceles, con simetría Cnv o [1,n], de orden 2n. Se le asigna un símbolo de Schläfli extendido ( ) ∨ {n}, que representa un punto, ( ), unido (desplazado ortogonalmente) a un polígono regular, {n}. La operación de unión crea una nueva arista entre todos los pares de vértices (con uno de cada una de los dos figuras, punto y polígono) unidos entre sí.N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms
La pirámide triangular o trigonal cuyas todas sus caras son triángulos equiláteros es un tetraedro regular, uno de los sólidos platónicos. Un caso de simetría inferior de la pirámide triangular es C3v, que implica que tiene una base en forma de triángulo equilátero y 3 lados que son triángulos isósceles idénticos. Las pirámides cuadradas y pentagonales también pueden estar compuestas por polígonos regulares convexos, en cuyo caso son sólidos de Johnson.
Si todas las aristas de una pirámide cuadrada (o cualquier poliedro convexo) son tangentes a una esfera de modo que la media aritmética de las coordenadas de los puntos de tangencia coincide con el centro de la esfera, entonces se dice que la pirámide es canónica, y forma la mitad de un octaedro regular.
Las pirámides de base hexagonal o superior deben estar compuestas por triángulos isósceles. Una pirámide hexagonal con triángulos equiláteros sería una figura completamente plana, y en una heptagonal o superior la apotema de los triángulos no tiene la longitud necesaria para poder unirse al vértice.
mini|190px|Pirámide pentagrámica
PirámidesDigonalTriangularCuadradaPentagonalHexagonalHeptagonalOctogonalEneagonalDecagonal...ImpropiaRegularEquiláteraIsósceles50px50px70px70px50px70px70px70px70px50px50px50px50px50px50px50px50px50px
Pirámides estrelladas rectas
Las pirámides rectas con bases en forma de polígono estrellado regular se denominan pirámides estrelladas.. Por ejemplo, la pirámide pentagrámica tiene por base una estrella pentagonal y 5 lados triangulares que se cruzan entre sí.
Pirámides rectas de base irregular + Pirámides rectasx150pxx150pxx150px|Pirámide rectangular; pirámide rómbica y una pirámide recta general con vértice sobre el centroide de un polígono base
Una pirámide recta se puede describir mediante la notación como ( )∨P, donde ( ) representa el ápice, ∨ es el operador unión y P es el polígono base.
Un tetraedro recto sobre un triángulo isósceles se puede anotar de otras tres formas: como ( )∨[( )∨{ }], que describe la unión del punto con los vértices de una base con forma de triángulo isósceles compuesta por otro punto y un segmento; como [( )∨( )]∨{ }, que describe la unión de dos puntos que a su vez se unen con un segmento; o como { }∨{ }, que describe la unión de dos segmentos ortogonales entre sí (un disfenoide digonal con cuatro caras isósceles). Posee simetría C1v a partir de dos orientaciones base-ápice diferentes, y C2v en su simetría completa.
Una pirámide recta rectangular, anotada como ( )∨[{ }×{ }], y una pirámide rómbica, anotada como ( )∨[{ }+{ }], poseen simetría C2v.
Área
Área de un polígono regular
thumb|Partición de polígonos regulares en triángulos isósceles thumb|La línea roja es una apotema de este octógono
El área de un polígono regular puede calcularse en función de la longitud de cada lado y de su número de lados. Un polígono regular de n lados puede dividirse en n triángulos isósceles (equiláteros en el caso del hexágono regular) cuyas bases son los lados del polígono regular. La altura de cada uno de estos triángulos es una apotema del polígono regular y divide cada uno de los triángulos isósceles en dos triángulos rectángulos, dividiendo así el polígono en 2n triángulos rectángulos.
El área del polígono regular (Ab) es igual a la suma de las áreas de los triángulos rectángulos (At):
Donde a es la apotema del polígono regular. Para calcular la longitud de la apotema se aplica la trigonometría.
Aparte: Se debe calcular la apotema a, donde α es el ángulo del vértice del triángulo rectángulo que coincide con el centro del polígono regular:
Ahora, reemplazando el valor de la apotema a en el área del polígono regular (Ab) tenemos:
El valor del ángulo α resulta de dividir el ángulo completo (2π) por el número de triángulos rectángulos (2n), luego .
Área lateral de una pirámide
El área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de las caras laterales por el número de caras laterales.
Donde ap es la apotema de la pirámide y p es el perímetro de la base.
thumb|Teorema de Pitágoras: Altura de la pirámide: h = a. Apotema de la base: ab = b. Apotema de la pirámide: ap = c
La apotema de la pirámide (ap) puede calcularse a partir de la apotema de la base (ab) y de la altura de la pirámide (h) aplicando el teorema de Pitágoras.
Área total de una pirámide
El área total de la pirámide es la suma del área de la base y el área lateral.
En el caso de una pirámide regular, sustituyendo el área de la base y el área lateral en la ecuación , se obtiene:
Volumen El volumen de una pirámide puede obtenerse mediante cálculo diferencial. El área de un plano de corte transversal es directamente proporcional al área de la base (Ab) y al cuadrado de la distancia del plano de corte respecto al vértice de la pirámide. Esta distancia (d) es la diferencia entre la altura de la pirámide (h) y altura del plano de corte (z).
Por lo tanto, el área de un plano de corte transversal situado a una altura z por encima de la base es
El volumen de una pirámide se puede hallar conociendo el área de su base y su altura, independientemente de la forma de la base y de la posición del ápice en un plano paralelo a la base.
Esta fórmula también es válida para el cono, ya que no depende de la forma de la base, sino de su área.
El matemático y astrónomo indio Aryabhata dedujo la fórmula utilizando un método similar, que aparece en su obra titulada Aryabhatiya (sección 2.6), que data del año 499 a. C.
Volumen de una pirámide regular El volumen de una pirámide cuya base es un polígono regular puede calcularse a partir del lado del polígono regular que define su base y de la altura de la pirámide. Sustituyendo el área de la base Ab en la ecuación del volumen de la pirámide se obtiene:
Como un polígono regular es inscriptible, puede usarse el radio r de la circunferencia circunscrita, el ángulo α interior del polígono, la altura h y el número n de lados, y calcular, con dichos datos, el volumen sujeto a la siguiente fórmula:
La fórmula del volumen de una pirámide también se puede deducir a partir de razonamientos geométricos, sin necesidad de realizar cálculo alguno:
mini|450px|Descomposición de un prisma recto de base triangular en tres piámides del mismo volumen (roja, azul y verde)
A partir de un prisma de base triangular: Dado un prisma recto triangular de bases ABC y DEF, obtener su volumen es inmediato: Vprisma = Base · altura = Área (ABC) · AD A continuación, se descompone en tres pirámides. Para facilitar la comprensión del dibujo, se denominan con los puntos de la base entre paréntesis acompañados del vértice (aunque al tener todas sus caras triangulares, la elección del vértice es arbitraria): Pirámide roja = (ABC)E // Pirámide azul = (DEF)C // Pirámide verde = (ACD)E