Ortogonaalinen komplementti on vektoriavaruuden aliavaruuden komplementti, joka koostuu kaikista aliavaruuden vektoreihin nähden ortogonaalisista vektoreista.
Määritelmä Olkoon sisätuloavaruus (esimerkiksi pistetulolla). Olkoon aliavaruus. Sen ortogonaalinen komplementti määritellään:
Tämä on itsekin aliavaruus.
Ominaisuuksia Ortogonaalinen komplementti on aliavaruus: . Jos , niin . Jos on suljettu aliavaruus Hilbertin avaruudessa, pätee
Äärellisen dimensioisessa tapauksessa:
Esimerkkejä
Ortogonaalinen komplementti :ssä Jos on tason aliavaruus, jonka normaali on vektori , niin . Esimerkiksi jos
niin .
Matriisin avaruudet ja niiden ortogonaaliset komplementit Ortogonaalinen komplementti liittyy läheisesti matriisin kuva- ja nolla-avaruuksiin:
Esimerkiksi matriisille
on sarakeavaruus yhdensuuntainen vektorin kanssa, ja nolla-avaruus muodostaa ortogonaalisen aliavaruuden rivien suhteen.
Ortogonaalinen komplementti funktioavaruuksissa Hilbertin avaruudessa, kuten , ortogonaalinen komplementti voidaan määritellä sisätulon avulla:
Jos on joukko polynomifunktioita, sen ortogonaalinen komplementti koostuu niistä funktioista, joiden sisätulo jokaisen :n funktion kanssa on nolla. Tämä mahdollistaa esimerkiksi Fourier-sarjan ortogonaalisen erottelun.
Yhteydet Ortogonaalinen komplementti liittyy seuraaviin käsitteisiin: Projektio (lineaarialgebra) Ortonormaali kanta Kuva-avaruus, Nolla-avaruus Hilbertin avaruus
Katso myös Sisätuloavaruus Sarakeavaruus, Riviavaruus Ortogonaalisuus Projektiot
Lähteet Tampereen yliopisto (2019): Ortogonaaliset kannat ja matriisit. Lineaarialgebran luentomateriaali. Viitattu 25.6.2025. Saatavilla: https://matriisi.ee.tut.fi/opetus/ Delft University of Technology: “Orthogonal Complements”. Delft Interactieve Linear Algebra. Viitattu 25.6.2025.
Kirjallisuutta Adkins, William A. & Weintraub, Steven H.: Algebra: An Approach via Module Theory. Springer‑Verlag, 1992. Rudin, Walter: Real and Complex Analysis. McGraw‑Hill, 1991.
Luokka:Lineaarialgebra Luokka:Funktionaalianalyysi