En théorie des catégories, une branche des mathématiques, un crible est une manière de sélectionner certains morphismes d'une catégorie ayant un codomaine commun. Il constitue une généralisation catégorique de la notion de collection d'ouverts d'un ouvert donné en topologie. Dans une topologie de Grothendieck, certains cribles choisis sont alors les analogues catégoriques des recouvrements ouverts en topologie. Les cribles ont été introduits par Giraud (1964) afin de reformuler la notion de topologie de Grothendieck.
Définition Soit C une catégorie localement petite, et soit c un objet de C. Un crible sur c est un sous-foncteur de Hom(−,c): pour tous les objets c ′ de C, S (c') ⊆ Hom(c ′,c), et pour tout morphisme f:c″→c′, S(f) est la restriction de Hom(f,c), le produit fibré par f (au sens de précomposition, non de produits de fibres), vers S(c'); voir la section suivante, ci-dessous.
En d'autres termes, un crible est une collection S de morphismes ayant un codomaine commun qui satisfait la condition « Si g:c′→c est un morphisme de S, et si f:c″→c′ est un autre morphisme quelconque de C, alors gf est dans S ». Par conséquent, les cribles sont similaires aux idéaux à droite en théorie des anneaux ou aux filtres en théorie de l'ordre.
Produit fibré (pullback) de cribles L'opération la plus courante sur un crible est le produit fibré (ou pullback). Le produit fibré d'un crible S sur c par un morphisme f:c′→c donne un nouveau crible f * S sur c ′ . Ce nouveau crible est constitué de tous les morphismes de S qui factorisent par c ′ .
Il existe plusieurs façons équivalentes de définir f * S. La plus simple est :
Pour tout objet d de C, f *S(d)={g:d→c′| fg ∈ S(d)}
Une formulation plus abstraite est :
f * S est l'image du produit fibré S × Hom( −, c ) Hom( −, c ′ ) sous la projection naturelle S × Hom( −, c ) Hom( −, c ′ ) → Hom( −, c ′ ).
Ici, l'application Hom( −, c ′ )→Hom( −, c ) est Hom( −, f ), le pushforward par f.
Cette dernière formulation suggère que l'on peut également considérer l'image de S × Hom( −, c ) Hom( −, c ′ ) par l'application naturelle Hom( −, c ). Il s'agit de l'image de f * S par composition avec f . Pour chaque objet d de C, ce crible est constitué de tous les morphismes fg, où g : d → c ′ est un morphisme de f * S ( d ). Autrement dit, il est constitué de tous les morphismes de S qui peuvent être factorisés par f.
Si on note ∅ le crible vide sur c, c'est-à-dire le crible pour lequel ∅(d) est toujours l'ensemble vide, alors pour tout f:c'→c, f*∅ est ∅ (le crible vide sur c. De plus, f*Hom(−, c) = Hom(−, c′).
Propriétés des cribles Soient S et S ′ deux cribles sur c . On dit que S ⊆ S ′ si, pour tout objet c ′ de C, S ( c ′ ) ⊆ S ′ ( c ′ ). Pour tout objet d de C''', on définit ( S ∪ S ′ )( d ) comme S ( d ) ∪ S ′ ( d ) et ( S ∩ S ′ )( d ) comme S ( d ) ∩ S ′ ( d ). On peut aisément étendre cette définition aux unions et intersections infinies.
Si nous définissons SieveC(c) (ou Sieve(c) en abrégé) comme l'ensemble de tous les cribles sur c, alors Sieve(c) devient partiellement ordonné sous ⊆. Il est facile de voir à partir de la définition que l'union ou l'intersection de toute famille de cribles sur c est un crible sur c, donc le Sieve(c) est un treillis complet.
Une topologie de Grothendieck est un ensemble de cribles possédant certaines propriétés. Ces cribles en question sont appelés cribles de recouvrement . L'ensemble de tous les cribles de recouvrement d'un objet c est un sous-ensemble J(c) de Sieve(c). J (c) satisfait plusieurs propriétés en plus de celles requises par la définition :
Si S et S ′ sont des cribles sur c, S ⊆ S ′, et S ∈ J ( c ), alors S ′ ∈ J ( c ). Les intersections finies des éléments de J ( c ) sont dans J ( c ).
Par conséquent, J ( c ) est également un treillis distributif, et il est cofinal dans Sieve(c'').
Références
Catégorie:Théorie des catégories