vignette|Déformation élastique d'un cylindre lorsqu'une force (schématisé par les flèches rouges) est appliquée sur ses extrémités. En mécanique des milieux continus, une déformation élastique est une déformation réversible, c'est-à-dire que le matériau reprend sa forme initiale et la déformation disparaît lorsque les forces appliquées au matériau disparaissent (par exemple un ressort qui retrouve sa longueur d'origine après avoir été étiré). Elle est généralement linéaire (proportionnelle à la force appliquée).
Causes de l'élasticité Les raisons physiques du comportement élastique diffèrent d'un matériau à un autre. Pour les métaux, le treillis atomique change de taille et de forme quand des forces leur sont appliquées (ajout d'énergie au système). Quand les forces sont supprimées, le système retourne à son état original où l'énergie est la plus faible. Pour le caoutchouc et autres polymères, l'élasticité est due à l’extension des chaînes de polymère lorsque les forces sont appliquées. Dans les tissus biologiques élastiques (muscle par exemple), plusieurs de ces causes peuvent être mobilisées.
L'élasticité linéaire concerne les petites déformations proportionnelles à la sollicitation. Dans cette gamme, l'allongement est proportionnel à la force dans le cas d'un étirement, selon le module de Young, et l'angle est proportionnel au couple dans le cas d'une torsion, selon le module de Coulomb.
Aux plus grandes déformations, l'élasticité devient non linéaire pour certains matériaux.
La déformation élastique est un domaine important de la mécanique des milieux continus (MMC) et de la thermodynamique (compression des gaz).
Généralités Les matériaux peuvent être soumis à l'action d'une force qui les déforme. Tous les matériaux sont plus ou moins élastiques, c'est-à-dire qu'ils reviennent à leur forme primitive si la force appliquée n'a pas dépassé un certain seuil (la limite d'élasticité) et qu'elle cesse d'agir. Dans le cas contraire, il y a déformation plastique, voire ruptureEug Roffiaen, Traité théorique et pratique sur la résistance des matériaux dans les constructions, Félix Oudart, 1858..
Lorsqu'un corps est soumis à l'action de forces qui tendent à le comprimer ou à l'allonger, les raccourcissements ou les allongements sont entre certaines limites proportionnels aux forces qui les produisent, l'expérience le prouve. Dans ce cas et si la force cesse d'agir, le corps reprend presque exactement sa forme et ses dimensions primitives. On dit alors que l'élasticité du corps n'a pas été altérée et l'allongement ou le raccourcissement observé qui a disparu, ou plutôt dont il ne reste qu'une trace insensible se nomme « déformation élastique ». L'expérience apprend aussi que lorsque les allongements ou les raccourcissements ne sont plus proportionnels aux forces, les corps ne reprennent plus leur forme et leurs dimensions primitives : lorsque ces forces ont cessé d'agir les corps demeurent plus ou moins allongés ou comprimés. On dit alors que leur élasticité est altérée, on parle de déformation plastique et la modification qui subsiste ultérieurement dans leurs dimensions se nomme « allongement permanent », « contraction permanente ». La durée d'action des forces exerce une grande influence sur les effets qui se produisent. Ainsi dans le cas où une force n'agira que momentanément, on pourra sans craindre d'altérer l'élasticité du corps, donner à cette force une puissance plus grande que celle que l'on pourrait employer si les efforts s'exerçaient d'une manière permanente.
Il existe différents modules d'élasticité, tels que le module de Young, le module de rigidité ou de cisaillement et le module d'élasticité isostatique, qui sont tous des mesures des propriétés élastiques d'un matériau, en tant que résistance à la déformation sous une charge appliquée. Les différents modules s'appliquent à différents types de déformation. Le module de Young (par Thomas Young) s'applique à l'extension/compression d'un corps, alors que le module de cisaillement s'applique à son cisaillementLandau L.D. et Lipshitz E.M., Theory of Elasticity, , 1970, 1-172..
L'élasticité des matériaux est décrite par une courbe contrainte-déformation, qui montre la relation entre la contrainte (la force interne de restauration moyenne par unité de surface) et la déformation (la déformation relative).. La courbe est généralement non linéaire, mais elle peut être (approximativement linéaire) en utilisant des séries de Taylor pour des déformations suffisamment petites (dans lesquelles les termes d'ordre supérieur sont négligeables). Si le matériau est isotrope, la relation contrainte-déformation linéarisée est appelée loi de Hooke, qui est souvent présumée s'appliquer jusqu'à la limite d'élasticité pour la plupart des métaux ou des matériaux cristallins, alors qu'une élasticité non linéaire est généralement requise pour modéliser de grandes déformations de matériaux caoutchouteux élastiques. Pour des contraintes encore plus élevées, les matériaux présentent un comportement plastique, c'est-à-dire qu'ils se déforment irréversiblement et ne reviennent pas à leur forme d'origine, alors que la contrainte n'est plus appliquée.. Pour les matériaux en caoutchouc tels que les élastomères, la pente de la courbe contrainte-déformation augmente avec la contrainte, ce qui signifie que les caoutchoucs deviennent progressivement plus difficiles à étirer, tandis que pour la plupart des métaux, le gradient diminue à des contraintes très élevées, ce qui les rend progressivement plus faciles étirer. L'élasticité n'est pas seulement applicable aux solides ; les fluides non newtoniens, tels que les fluides viscoélastiques, présentent également une élasticité, dans certaines conditions, quantifiées par le nombre de Deborah. En réponse à une petite contrainte, rapidement appliquée et retirée, ces fluides peuvent se déformer, puis revenir à leur forme originale. Sous des contraintes plus grandes, ou des contraintes appliquées pendant de plus longues périodes de temps, ces fluides peuvent commencer à s'écouler à la manière d'un liquide visqueux.
Élasticité linéaire vignette|Courbe contrainte-déformation représentant en vert la déformation élastique linéaire, et en jaune la déformation plastique. La limite d'élasticité correspond au point de la courbe entre la zone verte et la zone jaune. L'élasticité linéaire correspond au domaine où la relation entre la contrainte et la déformation est linéaire. Ce domaine est modélisé par la loi de Hooke. Dans le cas des métaux et de la plupart des matériaux cristallins, il est considéré que le matériau a un comportement élastique linéaire jusqu'à sa limite d'élasticité.
Le coefficient de proportionnalité reliant la contrainte et la déformation (ou le coefficient directeur de la droite sur un diagramme contrainte-déformation comme sur l'image ci-contre) est appelé module d'Young, souvent représenté par la lettre .
Il est donc possible d'exprimer la loi de Hooke de la manière suivante: . où:
représente la contrainte, homogène à une pression et exprimé en Pa, représente la déformation relative, c'est une grandeur sans dimension, correspond au module d'Young, homogène à une pression et exprimé en Pa.
Valeurs particulières Module de Young
Limite d'élasticité
La déformation élastique intervient pour les faibles sollicitations. Si l'on augmente les sollicitations, on change le mode de déformation : rupture (endommagement) pour les matériaux dits « fragiles » ; déformation plastique (irréversible et non linéaire) puis rupture pour les matériaux dits « ductiles » ; éventuellement fluage pour les matériaux ductiles si la vitesse de déformation est lente ou la température élevée. La contrainte délimitant le domaine élastique des autres domaines est appelée limite d'élasticité ().
Coefficient de Poisson
Contraintes et déformations On utilise principalement deux modèles de déformation élastique : la traction-compression et le cisaillement. La flexion peut se modéliser selon les cas comme une traction-compression ou comme un cisaillement, la torsion se modélise comme un cisaillement (voir plus bas).
Plus généralement, les contraintes et les déformations sont représentées par deux tenseurs d'ordre 2, assimilables à des matrices carrées. Dans le domaine élastique, le tenseur des contraintes est égal au produit du tenseur des déformations par le tenseur des constantes élastiques, d'ordre 4. Les constantes élastiques sont caractéristiques d'un matériau donné et ne dépendent en principe que de la température et de la pression ambiante ; elles ne dépendent pas de la taille de l'échantillon considéré, à l'exception des objets dont au moins une dimension est très petite (typiquement, jusqu'à six mailles conventionnelles.).
Traction-compression uniaxiale Prenons le cas de la traction ou de la compression d'une pièce cylindrique ou parallélépipédique selon son axe. La traction-compression correspond à des forces s'exerçant perpendiculairement aux sections de ces pièces ; elle est dite uniaxiale car les côtés de la pièce ne sont pas contraints, toutes les forces sont sur un même axe.
Allongement dans l'axe En prenant des pièces de différentes dimensions, on remarque que pour une force donnée : l'allongement est proportionnel à la longueur initiale du cylindre ; ceci se conçoit bien : si l'on met deux ressorts identiques bout-à-bout, le premier ressort transmet intégralement la force au second ressort, les deux s'allongent donc de la même quantité ; donc si avec un ressort on a un allongement , avec deux ressorts l'allongement total est ; l'allongement est inversement proportionnel à la section du cylindre ; on conçoit également aisément que si l'on met deux ressorts identiques en parallèle, chaque ressort exercera la moitié de la force de traction, l'allongement final sera donc ; si l'on double la section de la pièce, c'est comme si l'on mettait deux pièces côte-à-côte. Si l'on veut caractériser le matériau en faisant abstraction de la forme de la pièce et de ses dimensions, on définit donc : l'allongement relatif ou déformation (), noté
est sans dimension, on l'exprime parfois en % (100×Δl/l0) la contrainte (), notée
est homogène à une pression ; du fait des valeurs énormes mises en jeu, on l'exprime généralement en mégapascals (MPa).
La loi élastique s'écrit alors : , c'est la loi de Hooke ; est le module de Young (), qui est une caractéristique du matériau. est également homogène à une pression, du fait des valeurs très élevées qu'il prend, il est généralement exprimé en gigapascals (GPa).
On voit aisément que la densité d'énergie de déformation , c'est-à-dire l'énergie élastique divisée par le volume de la pièce, vaut : .
Lorsque l'on exerce une traction ou une compression, on constate que la largeur de la pièce varie également, à l'inverse de l'allongement. La variation relative de dimension est proportionnelle à l'allongement relatif , le coefficient de proportionnalité s'appelle le coefficient de Poisson () en hommage au mathématicien français Siméon Denis Poisson. Il est noté et est sans unité : pour un cylindre : ; pour un parallélépipède rectangle :
.
On considère le volume de la pièce. Pour une pièce cylindrique, on a : . Pour des petites variations, on a donc :
(développement limité au premier ordre), soit : . De même pour une pièce parallélépipédique, on a :
donc de même : . On voit donc que : si , le volume diminue en traction et augmente en compression (cas exceptionnel) ; si le volume augmente en traction et diminue en compression (comportement le plus général). Pour un acier, vaut environ 0,3, on est donc dans le second cas.